3x^2+x-2      (phân tích đa thức thành nhân tử bằng kĩ thuật bổ sung hằng đẳng t…

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng một kỹ thuật rất thú vị và hiệu quả, đó là kỹ thuật bổ sung hằng đẳng thức.

Lý do áp dụng phương pháp “Bổ sung hằng đẳng thức”:

Kỹ thuật “bổ sung hằng đẳng thức” là việc chúng ta thêm vào và bớt đi cùng một hạng tử (hoặc nhóm hạng tử) một cách khéo léo để biến đổi đa thức ban đầu thành dạng của các hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học (ví dụ: bình phương của một tổng/hiệu, hiệu hai bình phương). Từ đó, việc phân tích thành nhân tử sẽ trở nên dễ dàng hơn. Đặc biệt, với các đa thức bậc hai mà hạng tử bậc hai có hệ số khác 1 và không phải là số chính phương, hoặc không thể tách hạng tử giữa một cách trực tiếp dễ dàng, việc nhân thêm một số để tạo ra bình phương ở hạng tử đầu, rồi sau đó bổ sung để tạo thành hằng đẳng thức $A^2-B^2$ là một cách tiếp cận rất hiệu quả và đúng theo yêu cầu của đề bài.

Bây giờ, chúng ta cùng giải bài tập nhé: Phân tích đa thức $3x^2+x-2$ thành nhân tử.

Lời giải chi tiết:

Để tiện cho việc áp dụng hằng đẳng thức, chúng ta nhận thấy hạng tử $3x^2$ chưa phải là một bình phương hoàn hảo của một biểu thức nguyên. Chúng ta sẽ nhân toàn bộ đa thức với 3 để biến hạng tử đầu tiên thành bình phương của $3x$. Sau đó, chúng ta sẽ chia kết quả cuối cùng cho 3 để đảm bảo giá trị của đa thức không đổi.

Bước 1: Nhân đa thức với 3.

Đặt $P\left(x\right)=3x^2+x-2$.

Ta xét $3\cdot P\left(x\right)=3\cdot (3x^2+x-2)$

$=9x^2+3x-6$

Bước 2: Bổ sung để tạo hằng đẳng thức bình phương của một tổng.

Chúng ta thấy $9x^2={\left(3x\right)}^2$. Đây là $A^2$ trong hằng đẳng thức ${(A+B)}^2=A^2+2AB+B^2$.

Hạng tử tiếp theo là $3x$. Để nó có dạng $2AB$, với $A=3x$, ta cần tìm $B$ sao cho $2\cdot \left(3x\right)\cdot B=3x$.

Từ đó, suy ra $6xB=3x$, vậy $B=\frac{1}{2}$.

Để có hằng đẳng thức, chúng ta cần thêm hạng tử $B^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$. Đồng thời, chúng ta phải bớt đi hạng tử này để giá trị của biểu thức không thay đổi.

$9x^2+3x-6=(9x^2+3x+\frac{1}{4})-\frac{1}{4}-6$

Sử dụng hằng đẳng thức $A^2+2AB+B^2={(A+B)}^2$:

$={(3x+\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{4}-\frac{24}{4}$

$={(3x+\frac{1}{2})}^2-\frac{25}{4}$

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Chúng ta nhận thấy $\frac{25}{4}={\left(\frac{5}{2}\right)}^2$.

Vậy biểu thức có dạng $A^2-B^2$, với $A=3x+\frac{1}{2}$ và $B=\frac{5}{2}$.

Áp dụng hằng đẳng thức $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$:

$=(3x+\frac{1}{2}-\frac{5}{2})(3x+\frac{1}{2}+\frac{5}{2})$

Bước 4: Rút gọn các nhân tử.

$=(3x-\frac{4}{2})(3x+\frac{6}{2})$

$=(3x-2)(3x+3)$

Bước 5: Đặt nhân tử chung và chia cho 3 để có kết quả cuối cùng.

Trong nhân tử $(3x+3)$, chúng ta có thể đặt 3 làm nhân tử chung: $3x+3=3(x+1)$.

Vậy: $3\cdot P\left(x\right)=(3x-2)\cdot 3(x+1)$

$3\cdot P\left(x\right)=3(3x-2)(x+1)$

Để tìm lại $P\left(x\right)$, ta chia cả hai vế cho 3:

$P\left(x\right)=\frac{3(3x-2)(x+1)}{3}$

$P\left(x\right)=(3x-2)(x+1)$

Vậy, đa thức $3x^2+x-2$ được phân tích thành nhân tử là $(3x-2)(x+1)$.

Chúc các em học tốt và luôn tự tin khi giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhé!