6sin^2 3x – cos 12x = 4

Chào các em học sinh!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về phương trình lượng giác. Đây là một dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Toán 11, đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác đã học để đưa phương trình về dạng cơ bản.

Đề bài của chúng ta là:
$$6\; \backslash sin^2\; 3x\; –\; \backslash cos\; 12x\; =\; 4$$

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Phân tích phương pháp:

Quan sát phương trình, ta thấy có hai góc khác nhau là $3x$ và $12x$. Ngoài ra, ta có ${\sin }^{2}3x$ là bậc hai. Mục tiêu của chúng ta là đưa tất cả các hàm số lượng giác về cùng một góc và cùng một loại hàm số (ví dụ, chỉ có $\cos$ của một góc nào đó).

Ta nhận thấy mối liên hệ giữa các góc: $12x=4\cdot 3x$. Nếu ta hạ bậc ${\sin }^{2}3x$, nó sẽ trở thành $\cos 6x$. Sau đó, ta có thể dùng công thức nhân đôi cho $\cos 12x$ để biểu diễn nó theo $\cos 6x$. Đây là một hướng đi hợp lý để đưa phương trình về dạng chỉ chứa $\cos 6x$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Hạ bậc ${\sin }^{2}3x$

Chúng ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc (còn gọi là công thức biến đổi tích thành tổng, ở đây là hạ bậc của sin bình phương):
$${\sin }^{2}A=\frac{1–\cos 2A}{2}$$
Áp dụng công thức này với $A=3x$, ta có:
$${\sin }^{2}3x=\frac{1–\cos (2\cdot 3x)}{2}=\frac{1–\cos 6x}{2}$$
Thay biểu thức này vào phương trình ban đầu:
$$6\; \backslash cdot\; \backslash left(\; \backslash frac>1–\cos 6x2–\cos 12x=4$$
Rút gọn:
$$3(1\; –\; \backslash cos\; 6x)\; –\; \backslash cos\; 12x\; =\; 4$$
$$3\; –\; 3\backslash cos\; 6x\; –\; \backslash cos\; 12x\; =\; 4$$
Giải thích: Việc hạ bậc giúp chúng ta đưa ${\sin }^{2}3x$ về dạng $\cos$ và quan trọng hơn là biến đổi góc $3x$ thành $6x$, tạo mối liên hệ với góc $12x$ trong phương trình.

Bước 2: Sử dụng công thức nhân đôi cho $\cos 12x$

Bây giờ, phương trình của chúng ta có $\cos 6x$ và $\cos 12x$. Ta thấy rằng $12x$ là góc gấp đôi của $6x$. Do đó, ta sẽ sử dụng công thức nhân đôi cho $\cos 2A$ để biểu diễn $\cos 12x$ theo $\cos 6x$.
Công thức nhân đôi mà ta sẽ dùng là:
$$\cos 2A=2{\cos }^{2}A–1$$
Áp dụng công thức này với $A=6x$, ta có:
$$\cos 12x=2{\cos }^{2}6x–1$$
Thay biểu thức này vào phương trình đã biến đổi ở Bước 1:
$$3\; –\; 3\backslash cos\; 6x\; –\; (2\backslash cos^2\; 6x\; –\; 1)\; =\; 4$$
Giải thích: Việc sử dụng công thức nhân đôi này giúp chúng ta đưa toàn bộ phương trình về cùng một góc $6x$ và chỉ còn hàm $\cos$, từ đó dễ dàng đặt ẩn phụ để giải.

Bước 3: Đưa về phương trình bậc hai

Mở ngoặc và sắp xếp lại phương trình:
$$3\; –\; 3\backslash cos\; 6x\; –\; 2\backslash cos^2\; 6x\; +\; 1\; =\; 4$$
$$-2\backslash cos^2\; 6x\; –\; 3\backslash cos\; 6x\; +\; 4\; =\; 4$$
Chuyển số 4 từ vế phải sang vế trái:
$$-2\backslash cos^2\; 6x\; –\; 3\backslash cos\; 6x\; +\; 4\; –\; 4\; =\; 0$$
$$-2\backslash cos^2\; 6x\; –\; 3\backslash cos\; 6x\; =\; 0$$
Để phương trình dễ nhìn hơn, ta nhân cả hai vế với $–1$:
$$2\backslash cos^2\; 6x\; +\; 3\backslash cos\; 6x\; =\; 0$$
Giải thích: Sau khi áp dụng các công thức lượng giác, phương trình đã trở thành một phương trình bậc hai ẩn $\cos 6x$. Đây là dạng phương trình cơ bản mà chúng ta đã học.

Bước 4: Đặt ẩn phụ và giải phương trình bậc hai

Đặt $t=\cos 6x$.
Điều kiện cho $t$ là $–1\le t\le 1$ (vì giá trị của $\cos$ luôn nằm trong khoảng $[–1;1]$).
Phương trình trở thành:
$$2t^2\; +\; 3t\; =\; 0$$
Đây là phương trình bậc hai khuyết hệ số tự do. Ta có thể giải bằng cách đặt nhân tử chung:
$$t(2t\; +\; 3)\; =\; 0$$
Từ đây, ta có hai trường hợp:
$$t\; =\; 0$$
hoặc
$$2t\; +\; 3\; =\; 0\; \backslash Rightarrow\; 2t\; =\; -3\; \backslash Rightarrow\; t\; =\; -\backslash frac\{3\}\{2\}\; Giải\; thích:\; Việc\; đặt\; ẩn\; phụ\; giúp\; phương\; trình\; lượng\; giác\; trở\; về\; dạng\; phương\; trình\; đại\; số\; quen\; thuộc,\; từ\; đó\; dễ\; dàng\; tìm\; được\; giá\; trị\; của\; ẩn\; phụ.$$

Bước 5: So sánh điều kiện và tìm nghiệm của phương trình lượng giác

Chúng ta cần kiểm tra xem các giá trị của $t$ vừa tìm được có thỏa mãn điều kiện $–1\le t\le 1$ hay không.

• Với $t=0$: Giá trị này thỏa mãn điều kiện $–1\le 0\le 1$.
• Với $t=–\frac{3}{2}$: Giá trị này không thỏa mãn điều kiện vì $–\frac{3}{2}=–1.5$, mà $–1.5<–1$. Do đó, giá trị này bị loại.

Vậy, ta chỉ còn một trường hợp để xét là $t=0$.
Thay $t=\cos 6x$ trở lại:
$$\cos 6x=0$$
Đây là một phương trình lượng giác cơ bản. Nghiệm của phương trình $\cos u=0$ là $u=\frac{\pi }{2}+k\pi$ (với $k\in \mathbb{Z}$).
Áp dụng với $u=6x$, ta có:
$$6x\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; +\; k\backslash pi\; \backslash quad\; (k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\})$$
Chia cả hai vế cho 6 để tìm $x$:
$$x\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{12\}\; +\; \backslash frac\{k\backslash pi\}\{6\}\; \backslash quad\; (k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\})$$
Giải thích: Sau khi tìm được giá trị hợp lệ của ẩn phụ, chúng ta thay ngược trở lại để giải phương trình lượng giác cơ bản, tìm ra nghiệm cuối cùng của $x$. Việc kiểm tra điều kiện của ẩn phụ là rất quan trọng để loại bỏ các nghiệm không hợp lệ.

Kết luận:

Vậy, các nghiệm của phương trình đã cho là:
$$x\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{12\}\; +\; \backslash frac\{k\backslash pi\}\{6\}\; \backslash quad\; (k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\})$$

Qua bài tập này, các em thấy rằng việc nắm vững các công thức lượng giác cơ bản (hạ bậc, nhân đôi) và biết cách biến đổi linh hoạt là chìa khóa để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các kỹ năng này nhé! Chúc các em học tốt!