Chứng minh: ( cos 2 x – sin 2 x ) ( …

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài tập chứng minh đẳng thức lượng giác rất cơ bản nhưng cũng rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 10 của chúng ta. Bài tập này sẽ giúp các em củng cố kiến thức về các công thức lượng giác cơ bản.

Chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức:
$({\cos }^{2}x–{\sin }^{2}x)({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)=\cos 2x$

Để chứng minh một đẳng thức lượng giác, chúng ta thường biến đổi một vế (thường là vế phức tạp hơn) về vế còn lại. Trong bài này, vế trái (VT) phức tạp hơn, vì vậy chúng ta sẽ bắt đầu từ vế trái.

Lời giải chi tiết:

Ta có vế trái của đẳng thức là:

$VT=({\cos }^{2}x–{\sin }^{2}x)({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)$

Bước 1: Áp dụng công thức lượng giác cơ bản

Chúng ta nhận thấy trong biểu thức có xuất hiện cụm
${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x$.
Đây là một trong những công thức lượng giác cơ bản và quan trọng nhất mà các em đã học ở đầu chương trình lượng giác lớp 10, đó là:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

(Lý do: Đây là hệ thức lượng giác cơ bản, chứng minh được từ định nghĩa sin, cos trên đường tròn đơn vị hoặc trong tam giác vuông.)

Thay thế vào biểu thức vế trái, ta được:

$VT=({\cos }^{2}x–{\sin }^{2}x)\cdot 1$

Hay:

$VT={\cos }^{2}x–{\sin }^{2}x$

Bước 2: Áp dụng công thức nhân đôi của cosin

Bây giờ, chúng ta quan sát biểu thức
${\cos }^{2}x–{\sin }^{2}x$.
Các em còn nhớ công thức nào có dạng này không? Chính xác, đây là một trong các dạng của công thức nhân đôi cho cosin. Công thức đó là:

$\cos 2x={\cos }^{2}x–{\sin }^{2}x$

(Lý do: Đây là công thức biến đổi tổng thành tích hoặc tích thành tổng, cụ thể là công thức nhân đôi của cosin, được học trong phần công thức lượng giác nâng cao ở lớp 10.)

Thay thế vào biểu thức của vế trái, ta được:

$VT=\cos 2x$

Bước 3: So sánh với vế phải

Chúng ta thấy rằng kết quả của vế trái sau khi biến đổi là
$\cos 2x$,
chính là vế phải (VP) của đẳng thức cần chứng minh.

$VT=VP$

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.

Kết luận:

Qua bài tập này, các em đã ôn lại hai công thức lượng giác rất quan trọng:
${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$
và
$\cos 2x={\cos }^{2}x–{\sin }^{2}x$.
Hãy luôn ghi nhớ các công thức này để áp dụng vào giải các bài tập lượng giác nhé!