cotA.cotB+cotB.cotC+cotC.cotA=1

Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được hướng dẫn các em giải một bài toán thú vị về lượng giác trong chương trình lớp 10. Đây là một dạng bài quen thuộc, giúp chúng ta củng cố các công thức cơ bản và khả năng biến đổi linh hoạt.

Để giải bài tập này, chúng ta cần nhớ một điều kiện rất quan trọng, đó là ba góc A, B, C thường được xét là ba góc của một tam giác. Khi đó, tổng ba góc này sẽ bằng $180°$ (hay $\pi$ radian). Đây chính là chìa khóa để chúng ta bắt đầu bài toán.

Chúng ta cùng đi từng bước nhé!

Lời giải chi tiết:

Giả sử A, B, C là ba góc của một tam giác.

Bước 1: Sử dụng tính chất tổng ba góc trong tam giác.

Vì A, B, C là các góc của một tam giác, ta có:

$$A+B+C=180°$$

Từ đó, ta suy ra:

$$A+B=180°-C$$

Giải thích: Đây là kiến thức cơ bản về hình học mà chúng ta đã học ở các lớp dưới, và là tiền đề để áp dụng các công thức lượng giác cho tổng hai góc.

Bước 2: Áp dụng hàm tang (tangent) vào hai vế của đẳng thức.

Để liên kết các góc này với nhau bằng các công thức lượng giác, chúng ta sẽ lấy hàm tang của cả hai vế:

$$\tan (A+B)=\tan (180°-C)$$

Giải thích: Chúng ta chọn hàm tang vì nó có công thức cộng rất phù hợp để biến đổi vế trái, và ở vế phải, $\tan (180°-C)$ có thể rút gọn được.

Bước 3: Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản.

Áp dụng công thức cộng cho tang và công thức góc bù:

– Công thức cộng tang:

$$\tan (A+B)=\frac{\mathrm{tanA}+\mathrm{tanB}}{1-\mathrm{tanA}.\mathrm{tanB}}$$

– Công thức góc bù:

$$\tan (180°-C)=-\mathrm{tanC}$$

Thay hai công thức này vào đẳng thức ở Bước 2, ta được:

$$\frac{\mathrm{tanA}+\mathrm{tanB}}{1-\mathrm{tanA}.\mathrm{tanB}}=-\mathrm{tanC}$$

Giải thích: Các công thức này đều nằm trong chương trình lượng giác lớp 10, giúp chúng ta biến đổi biểu thức về dạng đơn giản hơn. Lưu ý rằng để các biểu thức này xác định, các góc A, B, C không được là $90°$ (để tan không bị undefined) và $1-\mathrm{tanA}.\mathrm{tanB}\ne 0$. Chúng ta sẽ xét trường hợp góc vuông sau.

Bước 4: Biến đổi đại số để đưa về dạng mong muốn.

Nhân chéo và chuyển vế:

$$\mathrm{tanA}+\mathrm{tanB}=-\mathrm{tanC}(1-\mathrm{tanA}.\mathrm{tanB})$$

$$\mathrm{tanA}+\mathrm{tanB}=-\mathrm{tanC}+\mathrm{tanA}.\mathrm{tanB}.\mathrm{tanC}$$

Chuyển $-\mathrm{tanC}$ sang vế trái, ta được một đẳng thức rất nổi tiếng đối với tam giác:

$$\mathrm{tanA}+\mathrm{tanB}+\mathrm{tanC}=\mathrm{tanA}.\mathrm{tanB}.\mathrm{tanC}$$

Giải thích: Đây là các bước biến đổi đại số cơ bản, giúp chúng ta sắp xếp lại biểu thức để chuẩn bị cho việc chuyển đổi sang cotang.

Bước 5: Chuyển đổi từ tang sang cotang.

Để có được biểu thức cần chứng minh là các cotang, chúng ta sẽ chia cả hai vế của đẳng thức trên cho tích $\mathrm{tanA}.\mathrm{tanB}.\mathrm{tanC}$.

Điều kiện để thực hiện phép chia này là $\mathrm{tanA}\ne 0$, $\mathrm{tanB}\ne 0$, $\mathrm{tanC}\ne 0$. Điều này có nghĩa là các góc A, B, C không được bằng $90°$ (hoặc $\pi /2$). Chúng ta sẽ xét trường hợp này sau.

Nếu $A,B,C\ne 90°$, ta có:

$$\frac{\mathrm{tanA}}{\mathrm{tanA}.\mathrm{tanB}.\mathrm{tanC}}+\frac{\mathrm{tanB}}{\mathrm{tanA}.\mathrm{tanB}.\mathrm{tanC}}+\frac{\mathrm{tanC}}{\mathrm{tanA}.\mathrm{tanB}.\mathrm{tanC}}=\frac{\mathrm{tanA}.\mathrm{tanB}.\mathrm{tanC}}{\mathrm{tanA}.\mathrm{tanB}.\mathrm{tanC}}$$

Rút gọn từng phân số và sử dụng công thức $\mathrm{cotx}=\frac{1}{\mathrm{tanx}}$:

$$\frac{1}{\mathrm{tanB}.\mathrm{tanC}}+\frac{1}{\mathrm{tanA}.\mathrm{tanC}}+\frac{1}{\mathrm{tanA}.\mathrm{tanB}}=1$$

$$\mathrm{cotB}.\mathrm{cotC}+\mathrm{cotA}.\mathrm{cotC}+\mathrm{cotA}.\mathrm{cotB}=1$$

Sắp xếp lại các số hạng theo đúng thứ tự đề bài yêu cầu:

$$\mathrm{cotA}.\mathrm{cotB}+\mathrm{cotB}.\mathrm{cotC}+\mathrm{cotC}.\mathrm{cotA}=1$$

Đây chính là điều phải chứng minh.

Giải thích: Bước này là để chuyển đổi từ hàm tang sang hàm cotang, đây là hai hàm lượng giác có mối quan hệ nghịch đảo. Phép chia này hợp lệ với điều kiện đã nêu.

Xét trường hợp đặc biệt: Nếu tam giác có một góc vuông.

Giả sử tam giác ABC vuông tại A, tức là $A=90°$.

Khi đó $\mathrm{cotA}=\cot (90°)=0$.

Đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$$0.\mathrm{cotB}+\mathrm{cotB}.\mathrm{cotC}+\mathrm{cotC}.0=1$$

$$\mathrm{cotB}.\mathrm{cotC}=1$$

Vì $A=90°$, thì $B+C=180°-90°=90°$.

Do đó, $C=90°-B$.

Khi đó, $\mathrm{cotC}=\cot (90°-B)=\mathrm{tanB}$ (đây là công thức góc phụ).

Thay vào biểu thức $\mathrm{cotB}.\mathrm{cotC}=1$, ta có:

$$\mathrm{cotB}.\mathrm{tanB}=1$$

Điều này luôn đúng vì $\mathrm{cotx}=\frac{1}{\mathrm{tanx}}$.

Vậy, đẳng thức vẫn đúng ngay cả khi tam giác có một góc vuông.

Kết luận: Đẳng thức $\mathrm{cotA}.\mathrm{cotB}+\mathrm{cotB}.\mathrm{cotC}+\mathrm{cotC}.\mathrm{cotA}=1$ luôn đúng với mọi tam giác ABC.

Hy vọng với lời giải chi tiết và từng bước rõ ràng này, các em đã hiểu rõ cách chứng minh bài toán. Hãy nhớ rằng việc nắm vững các công thức cơ bản và biết cách liên hệ chúng với các điều kiện của bài toán là rất quan trọng nhé! Chúc các em học tốt!