Đơn giản biểu thức sau: a) sin^6a + cos^6a + 3sin^2a.cos^2a. b) sin^4a - cos^4a ...

Question

Đơn giản biểu thức sau: a) sin^6a + cos^6a + 3sin^2a.cos^2a. b) sin^4a - cos^4a - (sina + cosa)(sina - cosa). c) cos^a + tan^2a*cos^2a

Giáo viên Chuyên Môn · Accepted Answer

Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài tập đơn giản biểu thức lượng giác, một dạng bài quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng phần để củng cố kiến thức và kỹ năng nhé!

a) Đơn giản biểu thức: sin6α+cos6α+3sin2α⋅cos2αsin6α+cos6α+3sin2α⋅cos2α

Bước 1: Phân tích và áp dụng hằng đẳng thức.
Chúng ta nhận thấy hai số hạng đầu tiên sin6α+cos6αsin6α+cos6α có dạng tổng của hai lập phương. Để dễ dàng biến đổi, ta sẽ viết lại chúng dưới dạng (sin2α)3+(cos2α)3(sin2α)3+(cos2α)3. Sau đó, áp dụng hằng đẳng thức a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b) với a=sin2αa=sin2α và b=cos2αb=cos2α.
sin6α+cos6α=(sin2α)3+(cos2α)3sin6α+cos6α=(sin2α)3+(cos2α)3
=(sin2α+cos2α)3−3sin2α⋅cos2α(sin2α+cos2α)=(sin2α+cos2α)3−3sin2α⋅cos2α(sin2α+cos2α)

Bước 2: Sử dụng hệ thức cơ bản sin2α+cos2α=1sin2α+cos2α=1.
Hệ thức này giúp chúng ta đơn giản hóa biểu thức ở Bước 1.
=13−3sin2α⋅cos2α⋅1=13−3sin2α⋅cos2α⋅1
=1−3sin2α⋅cos2α=1−3sin2α⋅cos2α

Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu và rút gọn.
Bây giờ chúng ta thay kết quả vừa tìm được vào biểu thức ban đầu để hoàn tất việc đơn giản.
(1−3sin2α⋅cos2α)+3sin2α⋅cos2α(1−3sin2α⋅cos2α)+3sin2α⋅cos2α
=1=1
Vậy, biểu thức đã cho đơn giản thành 1.

b) Đơn giản biểu thức: sin4α−cos4α−(sinα+cosα)(sinα−cosα)sin4α−cos4α−(sinα+cosα)(sinα−cosα)

Bước 1: Phân tích số hạng đầu tiên sin4α−cos4αsin4α−cos4α.
Ta nhận thấy đây là hiệu của hai bình phương (sin2α)2−(cos2α)2(sin2α)2−(cos2α)2. Áp dụng hằng đẳng thức a2−b2=(a−b)(a+b)a2−b2=(a−b)(a+b).
sin4α−cos4α=(sin2α−cos2α)(sin2α+cos2α)sin4α−cos4α=(sin2α−cos2α)(sin2α+cos2α)

Bước 2: Sử dụng hệ thức cơ bản sin2α+cos2α=1sin2α+cos2α=1.
Thay hệ thức cơ bản vào kết quả Bước 1 để đơn giản biểu thức.
=(sin2α−cos2α)⋅1=(sin2α−cos2α)⋅1
=sin2α−cos2α=sin2α−cos2α

Bước 3: Phân tích số hạng thứ hai (sinα+cosα)(sinα−cosα)(sinα+cosα)(sinα−cosα).
Đây là một hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a−b)=a2−b2.
(sinα+cosα)(sinα−cosα)=sin2α−cos2α(sinα+cosα)(sinα−cosα)=sin2α−cos2α

Bước 4: Thay các kết quả vào biểu thức ban đầu và rút gọn.
Thay các biểu thức đã đơn giản vào biểu thức gốc để tìm kết quả cuối cùng.
(sin2α−cos2α)−(sin2α−cos2α)(sin2α−cos2α)−(sin2α−cos2α)
=0=0
Vậy, biểu thức đã cho đơn giản thành 0.

c) Đơn giản biểu thức: cos2α+tan2α⋅cos2αcos2α+tan2α⋅cos2α

Điều kiện xác định: Để tanαtanα có nghĩa thì cosα≠0cosα≠0.

Cách 1: Sử dụng tính chất phân phối và hằng đẳng thức.
Bước 1: Đặt nhân tử chung cos2αcos2α.
Chúng ta thấy cos2αcos2α là nhân tử chung của hai số hạng, nên ta nhóm chúng lại.
cos2α(1+tan2α)cos2α(1+tan2α)

Bước 2: Áp dụng hệ thức 1+tan2α=1cos2α1+tan2α=1cos2α.
Hệ thức này là một trong những hệ thức cơ bản của lượng giác lớp 9 (khi cosα≠0cosα≠0). Ta thay vào biểu thức đã nhóm.
cos2α⋅1cos2αcos2α⋅1cos2α
=1=1

Cách 2: Chuyển đổi tanαtanα về sinαsinα và cosαcosα.
Bước 1: Thay tanα=sinαcosαtanα=sinαcosα vào biểu thức.
Đây là định nghĩa cơ bản của tanαtanα, giúp chúng ta đưa biểu thức về dạng chỉ chứa sinαsinα và cosαcosα.
cos2α+(sinαcosα)2⋅cos2αcos2α+(sinαcosα)2⋅cos2α
=cos2α+sin2αcos2α⋅cos2α=cos2α+sin2αcos2α⋅cos2α

Bước 2: Rút gọn và áp dụng hệ thức cơ bản sin2α+cos2α=1sin2α+cos2α=1.
Thực hiện phép nhân và sau đó áp dụng hệ thức cơ bản để có kết quả cuối cùng.
=cos2α+sin2α=cos2α+sin2α
=1=1
Vậy, biểu thức đã cho đơn giản thành 1.

Các em nhớ rằng, việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và các hệ thức lượng giác cơ bản là chìa khóa để giải quyết các bài toán này một cách nhanh chóng và chính xác. Chúc các em học tốt!

hoa24092001yl · Answer

Đ&aacute;p &aacute;n:

a
          ,
          1

b
          ,
          0

c
          ,
          1

Giải th&iacute;ch c&aacute;c bước giải:
 Ta c&oacute;:

a
          ,

sin
              6
            
            a
            +
            
              cos
              6
            
            a
            +
            3
            
              sin
              2
            
            a
            &#x22C5;
            
              cos
              2
            
            a

&#xA0;

=

(
              
                sin
                2
              
              a
              )
            
            3
          
          +

(
              
                cos
                2
              
              a
              )
            
            3
          
          +
          3
          
            sin
            2
          
          a
          &#x22C5;
          
            cos
            2
          
          a

&#xA0;

=
          
            (
            
              sin
              2
            
            a
            +
            
              cos
              2
            
            a
            )
          
          &#x22C5;
          
            [

(
                
                  sin
                  2
                
                a
                )
              
              2
            
            -
            
              sin
              2
            
            a
            &#x22C5;
            
              cos
              2
            
            a
            +

(
                
                  cos
                  2
                
                a
                )
              
              2
            
            ]
          
          +
          3
          
            sin
            2
          
          a
          &#x22C5;
          
            cos
            2
          
          a

&#xA0;

=
          1
          &#x22C5;
          
            [

(
                
                  sin
                  2
                
                a
                )
              
              2
            
            -
            
              sin
              2
            
            a
            &#x22C5;
            
              cos
              2
            
            a
            +

(
                
                  cos
                  2
                
                a
                )
              
              2
            
            ]
          
          +
          3
          
            sin
            2
          
          a
          &#x22C5;
          
            cos
            2
          
          a

&#xA0;

=

(
              
                sin
                2
              
              a
              )
            
            2
          
          -
          
            sin
            2
          
          a
          &#x22C5;
          
            cos
            2
          
          a
          +

(
              
                cos
                2
              
              a
              )
            
            2
          
          +
          3
          
            sin
            2
          
          a
          &#x22C5;
          
            cos
            2
          
          a

&#xA0;

=

(
              
                sin
                2
              
              a
              )
            
            2
          
          +
          2
          &#x22C5;
          
            sin
            2
          
          a
          &#x22C5;
          
            cos
            2
          
          a
          +

(
              
                cos
                2
              
              a
              )
            
            2

&#xA0;

=

(
              
                sin
                2
              
              a
              +
              
                cos
                2
              
              a
              )
            
            2

&#xA0;

=
          
            1
            2

&#xA0;

=
          1

b
          ,

sin
              4
            
            a
            -
            
              cos
              4
            
            a
            -
            
              (
              sin
              a
              +
              cos
              a
              )
            
            &#x22C5;
            
              (
              sin
              a
              -
              cos
              a
              )

&#xA0;

=

(
              
                sin
                2
              
              a
              )
            
            2
          
          -

(
              
                cos
                2
              
              a
              )
            
            2
          
          -
          
            (
            
              sin
              2
            
            a
            -
            
              cos
              2
            
            a
            )

&#xA0;

=
          
            (
            
              sin
              2
            
            a
            -
            
              cos
              2
            
            a
            )
          
          &#x22C5;
          
            (
            
              sin
              2
            
            a
            +
            
              cos
              2
            
            a
            )
          
          -
          
            (
            
              sin
              2
            
            a
            -
            
              cos
              2
            
            a
            )

&#xA0;

=
          
            (
            
              sin
              2
            
            a
            -
            
              cos
              2
            
            a
            )
          
          &#x22C5;
          1
          -
          
            (
            
              sin
              2
            
            a
            -
            
              cos
              2
            
            a
            )

&#xA0;

=
          
            (
            
              sin
              2
            
            a
            -
            
              cos
              2
            
            a
            )
          
          -
          
            (
            
              sin
              2
            
            a
            -
            
              cos
              2
            
            a
            )

&#xA0;

=
          0

c
          ,

cos
              2
            
            a
            +
            
              tan
              2
            
            a
            &#x22C5;
            
              cos
              2
            
            a

&#xA0;

=
          
            cos
            2
          
          a
          +

(

sin
                  a

cos
                  a

)
            
            2
          
          &#x22C5;
          
            cos
            2
          
          a

&#xA0;

=
          
            cos
            2
          
          a
          +

sin
                2
              
              a

cos
                2
              
              a

&#x22C5;
          
            cos
            2
          
          a

&#xA0;

=
          
            cos
            2
          
          a
          +
          
            sin
            2
          
          a

&#xA0;

=
          1

Đơn giản biểu thức sau: a) sin^6a + cos^6a + 3sin^2a.cos^2a. b) sin^4a – cos^4a …

Viết một bình luận Hủy