Giải phương trình A) sinx + cosx=căn2

Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về phương trình lượng giác cơ bản thường gặp trong chương trình Toán 11.

Phương trình cần giải là:

$\sin x+\cos x=\sqrt{2}$

Lời giải chi tiết:

Để giải phương trình dạng $a\sin x+b\cos x=c$, chúng ta thường sử dụng phương pháp biến đổi về phương trình cơ bản bằng công thức cộng (hay còn gọi là phương pháp đặt ẩn phụ với góc phụ).

Lý do chọn phương pháp này: Phương pháp này giúp chúng ta đưa phương trình về dạng $R\sin (x+\alpha )=c$ (hoặc $R\cos (x–\alpha )=c$), là một trong những dạng phương trình lượng giác cơ bản nhất mà các em đã được học, từ đó dễ dàng tìm được nghiệm mà không sợ bỏ sót hay sinh ra nghiệm ngoại lai.

Bước 1: Xác định các hệ số và tính giá trị $R$.

Phương trình đã cho có dạng $a\sin x+b\cos x=c$ với $a=1$, $b=1$ và $c=\sqrt{2}$

Chúng ta tính giá trị $R=\sqrt{a^2+b^2}$

$R=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho $R$ và biến đổi vế trái về dạng công thức cộng.

Chia cả hai vế của phương trình ban đầu cho $R=\sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Ta có thể viết lại như sau:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=1$

Ở đây, chúng ta nhận thấy $\frac{\sqrt{2}}{2}$ chính là giá trị của $\sin \left(\pi 4\right)$ và $\cos \left(\pi 4\right)$. Để biến đổi về dạng $\sin (x+\alpha )$, chúng ta sẽ đặt $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$. Từ đó, ta chọn $\alpha =\frac{\pi }{4}$.

Áp dụng công thức cộng cho sin: $\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$, ta có:

$\sin x\cdot \cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+\cos x\cdot \sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=1$

Phương trình trở thành:

$\sin \left(x,+,\frac{\pi }{4}\right)=1$

Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản.

Phương trình ta có là $\sin \left(x,+,\frac{\pi }{4}\right)=1$

Đây là một dạng phương trình sin đặc biệt: $\sin Y=1$ khi $Y=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ ($k$ là số nguyên).

Áp dụng vào phương trình của chúng ta, ta đặt $Y=x+\frac{\pi }{4}$, ta được:

$x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$

Để tìm $x$, chúng ta chuyển $\frac{\pi }{4}$ sang vế phải:

$x=\frac{\pi }{2}–\frac{\pi }{4}+2k\pi$

Thực hiện phép trừ phân số:

$x=\frac{2\pi }{4}–\frac{\pi }{4}+2k\pi$

$x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$

với $k\in \mathbb{Z}$ (tập hợp các số nguyên).

Kết luận:

Vậy, các nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ với $k$ là một số nguyên bất kì.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách làm và có thể tự tin giải các bài tập tương tự nhé!