giải pt sin2x+2cos2x=1+sinx-4cosx

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập khá thú vị về phương trình lượng giác. Đây là dạng bài tập thường gặp trong chương trình Toán lớp 11 và đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt các công thức đã học.

Đề bài yêu cầu giải phương trình:
$$\sin 2x+2\cos 2x=1+\sin x–4\cos x$$

Chúng ta sẽ giải bài toán này theo từng bước chi tiết nhé!

Bước 1: Chuyển đổi các biểu thức lượng giác về cùng một góc.

Để đưa phương trình về dạng dễ giải hơn, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản đã học ở lớp 10 và 11 để chuyển các biểu thức $\sin 2x$ và $\cos 2x$ về biểu thức theo $\sin x$ và $\cos x$. Việc có số $1$ ở vế phải gợi ý chúng ta nên dùng công thức $\cos 2x=2{\cos }^{2}x–1$ để có thể triệt tiêu hoặc nhóm các hằng số.

Các công thức cần dùng:

• Công thức nhân đôi cho sin: $\sin 2x=2\sin x\cos x$
• Công thức nhân đôi cho cos: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x–1$

Thay các công thức này vào phương trình ban đầu, ta được:

$$2\sin x\cos x+2(2{\cos }^{2}x–1)=1+\sin x–4\cos x$$

Thực hiện phép phân phối ở vế trái:

$$2\sin x\cos x+4{\cos }^{2}x–2=1+\sin x–4\cos x$$

Bước 2: Chuyển vế và nhóm các hạng tử.

Để dễ dàng phân tích nhân tử, chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử về một vế (thường là vế trái) để đưa phương trình về dạng $P\left(x\right)=0$.

$$2\sin x\cos x+4{\cos }^{2}x–2–1–\sin x+4\cos x=0$$

Gom gọn các hằng số và sắp xếp lại các hạng tử:

$$mn2\sin x\cos x–\sin x+4{\cos }^{2}x+4\cos x–3=0$$

Bước 3: Phân tích nhân tử.

Quan sát phương trình, chúng ta thấy có thể nhóm các hạng tử để tìm nhân tử chung. Cụ thể, ta nhóm hạng tử chứa $\sin x$ và nhóm các hạng tử chỉ chứa $\cos x$ và hằng số.

Từ hai hạng tử đầu tiên $2\sin x\cos x–\sin x$, ta đặt $\sin x$ làm nhân tử chung:

$$\sin x(2\cos x–1)$$

Xét ba hạng tử còn lại: $4{\cos }^{2}x+4\cos x–3$. Đây là một biểu thức bậc hai theo $\cos x$. Chúng ta sẽ phân tích nó thành nhân tử. Đặt $t=\cos x$, ta có phương trình bậc hai: $4t^2+4t–3=0$.

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:

$$mi\Delta =4^2–4\left(4\right)(–3)=16+48=64$$
$$t=\frac{–4\pm \sqrt{64}}{2\left(4\right)}=\frac{–4\pm 8}{8}$$

Vậy, ta có hai nghiệm cho $t$:

• $t_1=\frac{–4+8}{8}=48=12$
• $t_2=\frac{–4–8}{8}=\frac{–12}{8}=–\frac{3}{2}$

Do đó, biểu thức $4{\cos }^{2}x+4\cos x–3$ có thể phân tích thành nhân tử như sau:

$$mn4(\cos x–\frac{1}{2})(\cos x+\frac{3}{2})=(2\cos x–1)(2\cos x+3)$$

Thay lại vào phương trình đã nhóm ở Bước 2, ta được:

$$\sin x(2\cos x–1)+(2\cos x–1)(2\cos x+3)=0$$

Bây giờ chúng ta thấy nhân tử chung là $(2\cos x–1)$. Chúng ta sẽ đặt nhân tử chung này ra ngoài:

$$(2\cos x–1)[\sin x+(2\cos x+3\left)\right]=0$$

Đơn giản hóa biểu thức trong ngoặc vuông:

$$(2\cos x–1)(\sin x+2\cos x+3)=0$$

Bước 4: Giải các phương trình cơ bản.

Phương trình tích bằng 0 khi một trong các nhân tử bằng 0. Vậy ta có hai trường hợp cần giải:

Trường hợp 1: $2\cos x–1=0$

Giải phương trình lượng giác cơ bản này:

$$2\cos x=1$$
$$\cos x=12$$

Ta biết rằng $\cos \frac{\pi }{3}=12$. Vậy nghiệm của phương trình này là:

$$x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$$

hoặc

$$x=–\frac{\pi }{3}+k2\pi$$

với $k\in \mathbb{Z}$ (k là số nguyên).

Trường hợp 2: $\sin x+2\cos x+3=0$

Chuyển vế hằng số để đưa về dạng $a\sin x+b\cos x=c$:

$$\sin x+2\cos x=–3$$

Để kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình dạng $a\sin x+b\cos x=c$, ta sử dụng điều kiện $a^2+b^2\ge c^2$.

Trong trường hợp này, ta có $a=1$, $b=2$, $c=–3$.

Tính $a^2+b^2$:

$$1^2+2^2=1+4=5$$

Tính $c^2$:

$$msup(–3)2=9$$

So sánh, ta thấy $5<9$, tức là $a^2+b^2<c^2$. Do đó, phương trình này vô nghiệm.

Lý do: Giá trị lớn nhất của biểu thức $\sin x+2\cos x$ là $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\approx 2.236$, và giá trị nhỏ nhất là $–\sqrt{5}\approx –2.236$. Vì $–3$ nằm ngoài khoảng giá trị của biểu thức $[–\sqrt{5};\sqrt{5}]$, nên không có giá trị $x$ nào thỏa mãn phương trình này.

Bước 5: Kết luận.

Kết hợp các trường hợp, phương trình đã cho chỉ có nghiệm từ Trường hợp 1.

Vậy, các nghiệm của phương trình là:

$$x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$$

và

$$x=–\frac{\pi }{3}+k2\pi$$

với $k\in \mathbb{Z}$.