Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50000 đồng. V…

PHÂN TÍCH BÀI TOÁN:
Chúng ta cần xác định giá bán để cửa hàng thu được lợi nhuận cao nhất. Lợi nhuận được tính bằng công thức:

$$\text{Lợi nhuận}=(\text{Giá bán mỗi quả}–\text{Giá nhập mỗi quả})\times \text{Số lượng bán được}$$
Các đại lượng “Giá bán mỗi quả” và “Số lượng bán được” thay đổi phụ thuộc vào quyết định giảm giá của cửa hàng. “Giá nhập mỗi quả” là một hằng số. Chúng ta sẽ đặt một biến để biểu diễn số lần giảm giá.

LỜI GIẢI CHI TIẾT:

Bước 1: Xác định các đại lượng ban đầu và thiết lập biến số.

• Giá bán ban đầu: $50000$ đồng/quả
• Số lượng bán được ban đầu: $40$ quả/ngày
• Giá nhập: $30000$ đồng/quả
• Mỗi lần giảm giá: $1000$ đồng/quả
• Số lượng bán tăng thêm mỗi lần giảm giá: $10$ quả

Gọi $x$ là số lần giảm giá (với $x$ là số nguyên không âm). Lý do chọn $x$ là số lần giảm giá là vì các yếu tố thay đổi (giá bán và số lượng) đều phụ thuộc vào số lần giảm giá này một cách tuyến tính.

Bước 2: Biểu diễn giá bán và số lượng bưởi bán được theo $x$.

• Khi giảm giá $x$ lần, mỗi lần $1000$ đồng, thì tổng số tiền giảm là $1000x$ đồng.
  
  Giá bán mỗi quả mới là: $P\left(x\right)=50000–1000x$ (đồng)
• Khi giảm giá $x$ lần, số bưởi bán tăng thêm $x$ lần $10$ quả, tức là $10x$ quả.
  
  Số lượng bưởi bán được mới là: $Q\left(x\right)=40+10x$ (quả)

Bước 3: Xây dựng hàm lợi nhuận theo $x$.

Lợi nhuận $L\left(x\right)$ thu được mỗi ngày là:

$$L\left(x\right)=(\text{Giá bán}–\text{Giá nhập})\times \text{Số lượng bán}$$
$$L\left(x\right)=\left(\right(50000–1000x)–30000)\times (40+10x)$$
$$L\left(x\right)=(20000–1000x)\times (40+10x)$$
Để dễ tính toán hơn, chúng ta có thể đặt $1000$ và $10$ ra ngoài:
$$L\left(x\right)=1000(20–x)\times 10(4+x)$$
$$L\left(x\right)=10000(20–x)(4+x)$$
Bây giờ, chúng ta khai triển biểu thức trong ngoặc để đưa về dạng hàm số bậc hai:
$$L\left(x\right)=10000(20\times 4+20\times x–x\times 4–x\times x)$$
$$L\left(x\right)=10000(80+20x–4x–x^2)$$
$$L\left(x\right)=10000(–x^2+16x+80)$$
$$L\left(x\right)=–10000x^2+160000x+800000$$

Đây là một hàm số bậc hai có dạng $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ với $a=–10000$, $b=160000$, $c=800000$.

Bước 4: Tìm giá trị $x$ để lợi nhuận $L\left(x\right)$ đạt giá trị lớn nhất.

Vì hệ số $a=–10000<0$, đồ thị hàm số bậc hai $L\left(x\right)$ là một parabol có bề lõm quay xuống dưới. Do đó, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.

Hoành độ đỉnh của parabol được xác định bởi công thức: $x=–\frac{b}{2a}$

Thay các giá trị $a$ và $b$ vào công thức:

$$x=–\frac{160000}{2\times (–10000)}=–\frac{160000}{–20000}=8$$

Vậy, lợi nhuận đạt giá trị cao nhất khi cửa hàng giảm giá $8$ lần.

Bước 5: Xác định giá bán để lợi nhuận cao nhất.

Với $x=8$, giá bán mỗi quả bưởi sẽ là:

$$P\left(8\right)=50000–1000\times 8=50000–8000=42000$$

Vậy, giá bán mỗi quả bưởi để cửa hàng thu được lợi nhuận cao nhất là $42000$ đồng.

Để kiểm tra thêm, chúng ta có thể tính số lượng bưởi bán được và lợi nhuận tối đa:

• Số lượng bưởi bán được: $Q\left(8\right)=40+10\times 8=40+80=120$ (quả)
• Lợi nhuận tối đa: $L\left(8\right)=(42000–30000)\times 120=12000\times 120=1440000$ (đồng)

GIẢI THÍCH PHƯƠNG PHÁP:
Chúng ta đã sử dụng phương pháp lập hàm số để biểu diễn lợi nhuận theo một biến số duy nhất là số lần giảm giá ($x$). Qua các phép biến đổi đại số, hàm số lợi nhuận này đã trở thành một hàm số bậc hai có dạng $L\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ với hệ số $a$ âm. Trong chương trình Toán lớp 10, các em đã học về đặc điểm của hàm số bậc hai: nếu $a<0$, đồ thị hàm số là một parabol úp xuống và giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại đỉnh của parabol. Công thức tính hoành độ đỉnh $x=–\frac{b}{2a}$ cho phép chúng ta tìm được giá trị của $x$ mà tại đó lợi nhuận đạt mức tối đa. Từ giá trị $x$ này, chúng ta dễ dàng suy ra giá bán tối ưu.

KẾT LUẬN:
Vậy, để cửa hàng thu được lợi nhuận cao nhất, giá bán mỗi quả bưởi nên là $42000$ đồng.