Một xạ thủ bắn khoảng cách 100m có xác suất bắn trúng đích là: -Tầm 10 điểm: 0,5…

Chào em! Rất vui được giúp em giải quyết bài toán xác suất thú vị này. Đây là một dạng bài rất hay, đòi hỏi chúng ta phải phân tích kỹ lưỡng các trường hợp có thể xảy ra. Cô sẽ hướng dẫn em từng bước một thật chi tiết nhé!

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về biến cố độc lập và quy tắc cộng xác suất cho các biến cố xung khắc mà chúng ta đã học trong chương trình Toán lớp 11.

—

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bước 1: Xác định các biến cố cơ bản và xác suất của chúng

Dựa vào đề bài, xác suất bắn trúng các vùng điểm khác nhau là:

• Xác suất bắn trúng 10 điểm: $P\left(10\right)=\mathrm{0,5}$
• Xác suất bắn trúng 9 điểm: $P\left(9\right)=\mathrm{0,25}$
• Xác suất bắn trúng 8 điểm: $P\left(8\right)=\mathrm{0,1}$
• Xác suất bắn trúng 7 điểm: $P\left(7\right)=\mathrm{0,1}$
• Xác suất bắn trượt (ngoài vòng 7 điểm, coi là 0 điểm): $P\left(0\right)=\mathrm{0,05}$

Tổng các xác suất này là $\mathrm{0,5}+\mathrm{0,25}+\mathrm{0,1}+\mathrm{0,1}+\mathrm{0,05}=1$, đảm bảo đã liệt kê đủ các khả năng cho một lần bắn.

Bước 2: Phân tích các trường hợp có tổng điểm là 27 sau 3 lần bắn

Xạ thủ bắn 3 lần, gọi điểm số của 3 lần bắn là $X_1,X_2,X_3$
Chúng ta sẽ liệt kê các trường hợp một cách có hệ thống, bắt đầu từ điểm cao nhất có thể:

• Trường hợp 1: Có hai lần bắn 10 điểm.
  Tổng điểm của hai lần bắn này là $10+10=20$(10, 10, 7).
• Trường hợp 2: Có một lần bắn 10 điểm.
  Điểm còn lại cần đạt được từ hai lần bắn kia là $27-10=17$
  • $9+8=17$

  Vậy, một bộ điểm có thể là (10, 9, 8). (Không thể là 9+9=18>17, 8+8=16<17).

• Trường hợp 3: Không có lần bắn 10 điểm.
  Điểm cao nhất có thể trong trường hợp này là 9 điểm.
  Nếu có ba lần bắn đều là 9 điểm: $9+9+9=27$(9, 9, 9).
  (Nếu có một lần 8 điểm, ví dụ 9, 9, 8 thì tổng là 26, không đủ. Nếu có nhiều hơn một lần 8 điểm hoặc thấp hơn thì càng không đủ).

Tóm lại, có 3 bộ điểm duy nhất (không xét thứ tự) mà xạ thủ có thể đạt được tổng 27 điểm là:

1. Bộ điểm (10, 10, 7)
2. Bộ điểm (10, 9, 8)
3. Bộ điểm (9, 9, 9)

Bước 3: Tính xác suất cho từng trường hợp

Vì mỗi lần bắn là một biến cố độc lập, chúng ta sử dụng quy tắc nhân xác suất để tìm xác suất cho một chuỗi kết quả cụ thể. Sau đó, chúng ta cần tính đến các cách sắp xếp khác nhau của các điểm số đó.

Trường hợp 1: Xạ thủ bắn được bộ điểm (10, 10, 7)

Có 3 cách để xạ thủ đạt được bộ điểm này (vị trí của điểm 7 có thể ở lần bắn thứ nhất, thứ hai hoặc thứ ba):

• Bắn (10, 10, 7): $P\left(10\right)\times P\left(10\right)\times P\left(7\right)=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,5}\times \mathrm{0,1}=\mathrm{0,025}$
• Bắn (10, 7, 10): $P\left(10\right)\times P\left(7\right)\times P\left(10\right)=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,1}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,025}$
• Bắn (7, 10, 10): $P\left(7\right)\times P\left(10\right)\times P\left(10\right)=\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,5}\times \mathrm{0,5}=\mathrm{0,025}$

Xác suất để đạt được bộ điểm (10, 10, 7) là tổng của các xác suất này (vì chúng là các biến cố xung khắc):

$$P_1=\mathrm{0,025}+\mathrm{0,025}+\mathrm{0,025}=3\times \mathrm{0,025}=\mathrm{0,075}$$

Trường hợp 2: Xạ thủ bắn được bộ điểm (10, 9, 8)

Có $3!=3\times 2\times 1=6$

$$P\left(10\right)\times P\left(9\right)\times P\left(8\right)=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,25}\times \mathrm{0,1}=\mathrm{0,0125}$$

Vì mỗi cách sắp xếp đều có xác suất như nhau, xác suất để đạt được bộ điểm (10, 9, 8) là:

$$P_2=6\times \mathrm{0,0125}=\mathrm{0,075}$$

Trường hợp 3: Xạ thủ bắn được bộ điểm (9, 9, 9)

Chỉ có 1 cách duy nhất để đạt được bộ điểm này (cả ba lần bắn đều là 9 điểm).

Xác suất cho trường hợp này là:

$$msub>P3=P\left(9\right)\times P\left(9\right)\times P\left(9\right)=\mathrm{0,25}\times \mathrm{0,25}\times \mathrm{0,25}=\mathrm{0,015625}$$

Bước 4: Tính xác suất cuối cùng

Các trường hợp 1, 2 và 3 là các biến cố xung khắc (không thể đồng thời xảy ra cả ba trường hợp đó cùng một lúc). Do đó, để tìm xác suất tổng cộng xạ thủ được 27 điểm, chúng ta áp dụng quy tắc cộng xác suất.

Xác suất để xạ thủ được 27 điểm sau 3 lần bắn là tổng xác suất của 3 trường hợp trên:

$$mi>P\left(27điểm\right)=P_1+P_2+P_3$$
$$mi>P\left(27điểm\right)=\mathrm{0,075}+\mathrm{0,075}+\mathrm{0,015625}$$
$$mi>P\left(27điểm\right)=\mathrm{0,165625}$$

—

KẾT LUẬN

Vậy, xác suất để sau 3 lần bắn xạ thủ đó được 27 điểm là $\mathrm{0,165625}$

Hy vọng phần giải thích chi tiết này giúp em hiểu rõ bài toán hơn. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!