Phân tích a) a^5 + b^5 b) (a + b)^5 c) (a – c)^5

Xin chào các em học sinh! Cô rất vui được hướng dẫn các em giải bài tập “phân tích” các biểu thức sau. Đây là những dạng bài tập rất hay, giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số và ghi nhớ các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Chúng ta cùng đi vào từng phần nhé!

a) Phân tích biểu thức $a^5 + b^5$

Giải thích phương pháp:

Để phân tích đa thức $a^5 + b^5$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp “thêm bớt cùng một hạng tử” để tạo ra các nhóm có nhân tử chung. Chúng ta biết rằng tổng của hai lũy thừa bậc lẻ $a^n + b^n$ (với $n$ là số lẻ) luôn chia hết cho $(a+b)$. Do đó, $a^5 + b^5$ chắc chắn có nhân tử $(a+b)$. Chúng ta sẽ tìm cách “tách” nhân tử này ra.

Các bước giải:

Bước 1: Thêm và bớt các hạng tử một cách hợp lý để tạo nhóm có nhân tử chung $(a+b)$.

$$a^5 + b^5$$

$$= a^5 + a^4b – a^4b – a^3b^2 + a^3b^2 + a^2b^3 – a^2b^3 – ab^4 + ab^4 + b^5$$

Bước 2: Nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.

$$= (a^5 + a^4b) – (a^4b + a^3b^2) + (a^3b^2 + a^2b^3) – (a^2b^3 + ab^4) + (ab^4 + b^5)$$

Bước 3: Đặt nhân tử chung $(a+b)$ cho mỗi nhóm.

$$= a^4(a+b) – a^3b(a+b) + a^2b^2(a+b) – ab^3(a+b) + b^4(a+b)$$

Bước 4: Đặt nhân tử chung $(a+b)$ ra ngoài biểu thức.

$$= (a+b)(a^4 – a^3b + a^2b^2 – ab^3 + b^4)$$

Vậy, kết quả phân tích là:
$$a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 – a^3b + a^2b^2 – ab^3 + b^4)$$

b) Phân tích biểu thức $(a + b)^5$

Giải thích phương pháp:

Biểu thức $(a+b)^5$ thực chất đã ở dạng “phân tích” (thành tích của 5 nhân tử $(a+b)$). Tuy nhiên, yêu cầu “phân tích” trong trường hợp này thường được hiểu là “khai triển” biểu thức thành tổng của các đơn thức. Chúng ta sẽ sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8 ($(x+y)^2$ và $(x+y)^3$) và phép nhân đa thức để thực hiện.

Các bước giải:

Bước 1: Viết $(a+b)^5$ thành tích của các lũy thừa có bậc nhỏ hơn mà ta đã biết công thức khai triển.

$$(a+b)^5 = (a+b)^2 \cdot (a+b)^3$$

Bước 2: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển $(a+b)^2$ và $(a+b)^3$.

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Bước 3: Thực hiện phép nhân hai đa thức vừa khai triển.

$$(a+b)^5 = (a^2 + 2ab + b^2)(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)$$

Nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai:

$$= a^2(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + 2ab(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + b^2(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)$$

$$= (a^5 + 3a^4b + 3a^3b^2 + a^2b^3) + (2a^4b + 6a^3b^2 + 6a^2b^3 + 2ab^4) + (a^3b^2 + 3a^2b^3 + 3ab^4 + b^5)$$

Bước 4: Cộng các hạng tử đồng dạng.

$$= a^5 + (3a^4b + 2a^4b) + (3a^3b^2 + 6a^3b^2 + a^3b^2) + (a^2b^3 + 6a^2b^3 + 3a^2b^3) + (2ab^4 + 3ab^4) + b^5$$

$$= a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$$

Vậy, kết quả khai triển là:
$$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$$

c) Phân tích biểu thức $(a – c)^5$

Giải thích phương pháp:

Tương tự như phần b), chúng ta sẽ khai triển biểu thức này. Có hai cách để làm:

1. Thay $b = -c$ vào kết quả khai triển của $(a+b)^5$ ở phần b).
2. Khai triển trực tiếp bằng cách nhân các đa thức đã biết: $(a-c)^2$ và $(a-c)^3$.

Cô sẽ hướng dẫn các em theo cách thứ hai để các em luyện tập kỹ năng nhân đa thức nhé!

Các bước giải:

Bước 1: Viết $(a-c)^5$ thành tích của các lũy thừa có bậc nhỏ hơn.

$$(a-c)^5 = (a-c)^2 \cdot (a-c)^3$$

Bước 2: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển $(a-c)^2$ và $(a-c)^3$.

$$(a-c)^2 = a^2 – 2ac + c^2$$

$$(a-c)^3 = a^3 – 3a^2c + 3ac^2 – c^3$$

Bước 3: Thực hiện phép nhân hai đa thức vừa khai triển.

$$(a-c)^5 = (a^2 – 2ac + c^2)(a^3 – 3a^2c + 3ac^2 – c^3)$$

$$= a^2(a^3 – 3a^2c + 3ac^2 – c^3) – 2ac(a^3 – 3a^2c + 3ac^2 – c^3) + c^2(a^3 – 3a^2c + 3ac^2 – c^3)$$

$$= (a^5 – 3a^4c + 3a^3c^2 – a^2c^3) + (-2a^4c + 6a^3c^2 – 6a^2c^3 + 2ac^4) + (a^3c^2 – 3a^2c^3 + 3ac^4 – c^5)$$

Bước 4: Cộng các hạng tử đồng dạng.

$$= a^5 + (-3a^4c – 2a^4c) + (3a^3c^2 + 6a^3c^2 + a^3c^2) + (-a^2c^3 – 6a^2c^3 – 3a^2c^3) + (2ac^4 + 3ac^4) – c^5$$

$$= a^5 – 5a^4c + 10a^3c^2 – 10a^2c^3 + 5ac^4 – c^5$$

Vậy, kết quả khai triển là:
$$(a-c)^5 = a^5 – 5a^4c + 10a^3c^2 – 10a^2c^3 + 5ac^4 – c^5$$

Cô hy vọng bài giải chi tiết này giúp các em hiểu rõ hơn về cách “phân tích” và “khai triển” các biểu thức đại số. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức này nhé!