rút gọn :  B= cos x. cos 2x. cos 4x. cos 8x. cos 16x

Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập rút gọn biểu thức lượng giác rất thú vị nhé. Bài toán yêu cầu chúng ta rút gọn biểu thức:

B = cos x. cos 2x. cos 4x. cos 8x. cos 16x

Đây là một dạng bài tập kinh điển, áp dụng tính chất của công thức nhân đôi trong lượng giác. Cụ thể, chúng ta sẽ sử dụng công thức sau:

$$\sin \left(2\alpha \right)=2\sin \alpha \cos \alpha$$

Để tận dụng công thức này, chúng ta sẽ nhân thêm $\sin x$ vào biểu thức ban đầu và sau đó biến đổi tuần tự các số hạng.

Chúng ta sẽ tiến hành rút gọn như sau:

Bước 1: Xét trường hợp đặc biệt.

Để phương pháp nhân thêm $\sin x$ và sau đó chia lại cho $\sin x$ là hợp lệ, chúng ta cần xét trường hợp $\sin x=0$ riêng biệt.

Nếu $\sin x=0$, điều này xảy ra khi $x=k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$ (k là số nguyên).

• Nếu $k$ là số chẵn, tức $x=2m\pi$ ($m\in \mathbb{Z}$):
  Khi đó, $\cos x=\cos \left(2m\pi \right)=1$.
  Các số hạng khác như $\cos 2x=\cos \left(4m\pi \right)=1$, $\cos 4x=1$, $\cos 8x=1$, $\cos 16x=1$ (vì tất cả các góc này đều là bội của $2\pi$).
  Vậy, trong trường hợp này, $B=1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=1$.
• Nếu $k$ là số lẻ, tức $x=\left(2m+1\right)\pi$ ($m\in \mathbb{Z}$):
  Khi đó, $\cos x=\cos \left(\left(2m+1\right)\pi \right)=-1$.
  Các số hạng khác như $\cos 2x=\cos \left(2\left(2m+1\right)\pi \right)=\cos \left(4m\pi +2\pi \right)=1$, $\cos 4x=1$, $\cos 8x=1$, $\cos 16x=1$.
  Vậy, trong trường hợp này, $B=-1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=-1$.

Tổng hợp lại, nếu $\sin x=0$ thì $B=\cos x$.

Bước 2: Xét trường hợp $\sin x\ne 0$.

Để rút gọn biểu thức B, ta nhân cả hai vế với $\sin x$. Mục đích là để tạo ra các nhóm $2\sin \alpha \cos \alpha$ và lần lượt áp dụng công thức nhân đôi.

$$B\cdot \sin x=\sin x\cdot \cos x\cdot \cos 2x\cdot \cos 4x\cdot \cos 8x\cdot \cos 16x$$

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt áp dụng công thức $2\sin \alpha \cos \alpha =\sin \left(2\alpha \right)$. Để có số 2 trong mỗi nhóm, ta sẽ nhân thêm 2 và đồng thời chia cho 2:

Bước 2.1: Nhóm $\sin x\cos x$

$$B\cdot \sin x=\frac{1}{2}\left(2\sin x\cos x\right)\cdot \cos 2x\cdot \cos 4x\cdot \cos 8x\cdot \cos 16x$$

Áp dụng công thức nhân đôi cho $2\sin x\cos x$, ta được $\sin 2x$:

$$B\cdot \sin x=\frac{1}{2}\sin 2x\cdot \cos 2x\cdot \cos 4x\cdot \cos 8x\cdot \cos 16x$$

Bước 2.2: Nhóm $\sin 2x\cos 2x$

Tiếp tục nhân thêm $\frac{1}{2}$ (để có $2\sin 2x\cos 2x$):

$$B\cdot \sin x=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\left(2\sin 2x\cos 2x\right)\cdot \cos 4x\cdot \cos 8x\cdot \cos 16x$$

Áp dụng công thức nhân đôi, ta được $\sin 4x$:

$$B\cdot \sin x=\frac{1}{2^2}\sin 4x\cdot \cos 4x\cdot \cos 8x\cdot \cos 16x$$

Bước 2.3: Nhóm $\sin 4x\cos 4x$

Tương tự, ta có:

$$B\cdot \sin x=\frac{1}{2^2}\cdot \frac{1}{2}\left(2\sin 4x\cos 4x\right)\cdot \cos 8x\cdot \cos 16x$$
$$B\cdot \sin x=\frac{1}{2^3}\sin 8x\cdot \cos 8x\cdot \cos 16x$$

Bước 2.4: Nhóm $\sin 8x\cos 8x$

Tiếp tục:

$$B\cdot \sin x=\frac{1}{2^3}\cdot \frac{1}{2}\left(2\sin 8x\cos 8x\right)\cdot \cos 16x$$

Bước 2.5: Nhóm $\sin 16x\cos 16x$

Lần cuối cùng, áp dụng công thức nhân đôi:

$$B\cdot \sin x=\frac{1}{2^4}\cdot \frac{1}{2}\left(2\sin 16x\cos 16x\right)$$
$$B\cdot \sin x=\frac{1}{2^5}\sin 32x$$

Vậy ta có:

$$B\cdot \sin x=\frac{\sin 32x}{32}$$

Do đang xét trường hợp $\sin x\ne 0$, ta có thể chia cả hai vế cho $\sin x$ để tìm B:

$$B=\frac{\sin 32x}{32\sin x}$$

Kết luận:

Vậy, biểu thức B sau khi rút gọn là:

• Nếu $\sin x=0$ (tức $x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$), thì $B=\cos x$.
• Nếu $\sin x\ne 0$, thì $B=\frac{\sin 32x}{32\sin x}$.

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách vận dụng công thức nhân đôi để giải quyết dạng toán này. Đây là một kỹ thuật rất hữu ích trong lượng giác đấy!