Rút gọn bài: (sin2a + sina) : (1 +cos2a + cosa)

Chào các em học sinh,

Để giải bài tập rút gọn biểu thức lượng giác $\left(\sin \left(2a\right)+\sin a\right):\left(1+\cos \left(2a\right)+\cos a\right)$, chúng ta sẽ tiến hành rút gọn riêng tử số và mẫu số, sau đó kết hợp lại.

Bước 1: Rút gọn tử số

Tử số là: $\sin \left(2a\right)+\sin a$

Chúng ta nhận thấy có các số hạng liên quan đến $\sin \left(2a\right)$ và $\sin a$. Để có thể đặt nhân tử chung, chúng ta sẽ sử dụng công thức nhân đôi của sin để biến đổi $\sin \left(2a\right)$ về cùng góc $a$.

Công thức áp dụng:

$$\sin \left(2a\right)=2\sin a\cos a$$

Thay vào tử số, ta có:

$$\sin \left(2a\right)+\sin a=2\sin a\cos a+\sin a$$

Tiếp theo, ta đặt nhân tử chung $\sin a$ ra ngoài:

$$2\sin a\cos a+\sin a=\sin a\left(2\cos a+1\right)$$

Vậy tử số đã được rút gọn thành $\sin a\left(2\cos a+1\right)$.

Bước 2: Rút gọn mẫu số

Mẫu số là: $1+\cos \left(2a\right)+\cos a$

Trong mẫu số có số hạng $1+\cos \left(2a\right)$. Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ áp dụng công thức nhân đôi của cos. Cụ thể, ta chọn công thức $\cos \left(2a\right)=2{\cos }^{2}a-1$ vì nó giúp loại bỏ số hạng $1$ và đưa biểu thức về chỉ còn các số hạng chứa $\cos a$.

Công thức áp dụng:

$$\cos \left(2a\right)=2{\cos }^{2}a-1$$

Thay vào mẫu số, ta có:

$$1+\cos \left(2a\right)+\cos a=1+\left(2{\cos }^{2}a-1\right)+\cos a$$

Thực hiện phép tính:

$$1+2{\cos }^{2}a-1+\cos a=2{\cos }^{2}a+\cos a$$

Tiếp theo, ta đặt nhân tử chung $\cos a$ ra ngoài:

$$2{\cos }^{2}a+\cos a=\cos a\left(2\cos a+1\right)$$

Vậy mẫu số đã được rút gọn thành $\cos a\left(2\cos a+1\right)$.

Bước 3: Kết hợp tử số và mẫu số để rút gọn biểu thức

Sau khi đã rút gọn tử số và mẫu số, biểu thức ban đầu trở thành:

$$\frac{\sin a\left(2\cos a+1\right)}{\cos a\left(2\cos a+1\right)}$$

Chúng ta thấy có nhân tử chung $\left(2\cos a+1\right)$ ở cả tử và mẫu. Với điều kiện $2\cos a+1\ne 0$ và $\cos a\ne 0$, ta có thể giản ước nhân tử này:

$$\frac{\sin a}{\cos a}$$

Cuối cùng, ta biết rằng $\frac{\sin a}{\cos a}=\tan a$ (với điều kiện $\cos a\ne 0$).

Kết quả cuối cùng:

Vậy, biểu thức đã cho rút gọn được là:

$$\frac{\sin (2a+\sin a}{1+\cos \left(2a\right)+\cos a}=\tan a$$

Chúc các em học tốt!