rút gọn biểu thức:A=(2x-3)^2-(2x+3)^2B=(x+1)^2-2(2x-1)(1+x)+4x^2-4x+1

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em cách rút gọn các biểu thức đại số bằng cách vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học ở lớp 8. Đây là những dạng bài tập rất cơ bản và quan trọng, giúp các em củng cố kiến thức và phát triển kỹ năng tính toán.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài 1: Rút gọn biểu thức $A={(2x–3)}^2–{(2x+3)}^2$

Lời giải chi tiết:

Để rút gọn biểu thức A, chúng ta nhận thấy biểu thức này có dạng hiệu của hai bình phương. Đây là một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học.

Bước 1: Nhận dạng và áp dụng hằng đẳng thức “Hiệu hai bình phương”.

Công thức: $a^2–b^2=(a–b)(a+b)$

Trong biểu thức A, ta có thể xem:

• $a=2x–3$
• $b=2x+3$

Áp dụng hằng đẳng thức trên, ta có:

$$A=[(2x–3)–(2x+3)]\cdot [(2x–3)+(2x+3)]$$

Bước 2: Rút gọn từng biểu thức trong dấu ngoặc vuông.

2a. Rút gọn thừa số thứ nhất $[(2x–3)–(2x+3)]$:

Ta mở ngoặc và đổi dấu các số hạng trong ngoặc sau dấu trừ:

$$(2x–3)–(2x+3)=2x–3–2x–3$$

Nhóm các số hạng đồng dạng:

$$(2x–2x)+(–3–3)=0–6=–6$$

2b. Rút gọn thừa số thứ hai $[(2x–3)+(2x+3)]$:

Ta mở ngoặc:

$$(2x–3)+(2x+3)=2x–3+2x+3$$

Nhóm các số hạng đồng dạng:

$$(2x+2x)+(–3+3)=4x+0=4x$$

Bước 3: Thực hiện phép nhân hai thừa số đã rút gọn.

Thay kết quả của Bước 2a và 2b vào biểu thức A:

$$A=(–6)\cdot \left(4x\right)$$

Thực hiện phép nhân:

$$A=–24x$$

Vậy, biểu thức A sau khi rút gọn là $A=–24x$.

***

Bài 2: Rút gọn biểu thức $B={(x+1)}^2–2(2x–1)(1+x)+4x^2–4x+1$

Lời giải chi tiết:

Để rút gọn biểu thức B, chúng ta cần quan sát kỹ các thành phần của nó. Biểu thức này có dạng gợi ý đến hằng đẳng thức “bình phương của một hiệu”.

Bước 1: Phân tích các thành phần của biểu thức.

Chúng ta thấy có ba nhóm số hạng:

• Số hạng thứ nhất: ${(x+1)}^2$
• Số hạng thứ hai: $–2(2x–1)(1+x)$. Chú ý $(1+x)$ chính là $(x+1)$. Vậy số hạng này có thể viết là $–2(x+1)(2x–1)$.
• Số hạng thứ ba: $4x^2–4x+1$. Đây là một dạng đặc biệt.

Ta nhận thấy rằng $4x^2–4x+1$ chính là hằng đẳng thức “bình phương của một hiệu” ${(a–b)}^2=a^2–2ab+b^2$.

Với $a=2x$ và $b=1$, ta có:

$$4x^2–4x+1={\left(2x\right)}^2–2\cdot \left(2x\right)\cdot 1+1^2={(2x–1)}^2$$

Bước 2: Viết lại biểu thức B dưới dạng có thể áp dụng hằng đẳng thức.

Thay $4x^2–4x+1$ bằng ${(2x–1)}^2$ và sắp xếp lại các thừa số ở số hạng thứ hai:

$$B={(x+1)}^2–2(x+1)(2x–1)+{(2x–1)}^2$$

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức “Bình phương của một hiệu”.

Công thức: $A^2–2AB+B^2={(A–B)}^2$

Trong biểu thức B mới, ta có thể xem:

• $A=x+1$
• $B=2x–1$

Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:

$$B={[(x+1)–(2x–1)]}^2$$

Bước 4: Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc vuông.

Ta mở ngoặc và đổi dấu các số hạng trong ngoặc sau dấu trừ:

$$(x+1)–(2x–1)=x+1–2x+1$$

Nhóm các số hạng đồng dạng:

$$(x–2x)+(1+1)=–x+2$$

Bước 5: Bình phương kết quả.

Thay kết quả của Bước 4 vào biểu thức B:

$$B={(–x+2)}^2$$

Để biểu thức trông gọn gàng hơn, ta có thể viết $(–x+2)$ thành $(2–x)$. Vì ${(–x+2)}^2={(2–x)}^2$.

Nếu muốn khai triển hoàn chỉnh, ta áp dụng lại hằng đẳng thức ${(a–b)}^2=a^2–2ab+b^2$ với $a=2$ và $b=x$:

Vậy, biểu thức B sau khi rút gọn là $B=4–4x+x^2$.

Các em thấy không, việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ giúp chúng ta rút gọn biểu thức một cách nhanh chóng và chính xác hơn rất nhiều! Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo nhé!