(sin2x)’ là bằng gì mn

Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau tìm đạo hàm của hàm số $y=\sin \left(2x\right)$. Đây là một dạng bài tập rất cơ bản và quan trọng trong chương Đạo hàm của Toán lớp 11, đặc biệt là khi chúng ta học về đạo hàm của hàm hợp.

Để giải bài này, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp (hay còn gọi là quy tắc chuỗi), một công cụ rất mạnh mẽ khi làm việc với các hàm số có “hàm bên trong” và “hàm bên ngoài” lồng ghép vào nhau.

Lý do áp dụng phương pháp này:
Hàm số $y=\sin \left(2x\right)$ không phải là một hàm số cơ bản có dạng $\sin x$. Thay vào đó, nó là một hàm hợp, tức là hàm sin của một biểu thức khác (ở đây là $2x$). Vì vậy, chúng ta không thể chỉ đơn thuần áp dụng công thức đạo hàm cơ bản của hàm sin mà phải dùng quy tắc đạo hàm của hàm hợp để “bóc tách” từng lớp hàm số và tính đạo hàm từng phần.

Bây giờ, chúng ta cùng đi vào lời giải chi tiết từng bước một nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định hàm “bên trong” và hàm “bên ngoài”.
Ta xem $\sin \left(2x\right)$ là một hàm hợp $f\left(u\right)$ với $u$ là một hàm của $x$.
Đặt:

$$u=2x$$
Khi đó, hàm số ban đầu trở thành:

$$y=\sin u$$

Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm “bên ngoài” theo biến $u$.
Chúng ta đã học công thức đạo hàm cơ bản của hàm sin là ${(\sin X)}^{\prime }=\cos X$.
Áp dụng công thức này cho $y=\sin u$, ta có đạo hàm của $y$ theo $u$ là:

$$y_u^{\prime }={(\sin u)}^{\prime }=\cos u$$

Bước 3: Tìm đạo hàm của hàm “bên trong” theo biến $x$.
Hàm “bên trong” là $u=2x$.
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số bậc nhất ${(\mathrm{ax}+b)}^{\prime }=a$, ta có:

$$u^{\prime }={\left(2x\right)}^{\prime }=2$$

Bước 4: Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
Quy tắc đạo hàm của hàm hợp phát biểu rằng: Nếu $y=f\left(u\right)$ và $u=u\left(x\right)$, thì đạo hàm của $y$ theo $x$ được tính bằng công thức:

$$y_x^{\prime }=y_u^{\prime }\cdot u_x^{\prime }$$
Hay nói cách khác, đạo hàm của hàm hợp bằng đạo hàm của hàm “bên ngoài” (tính theo biến $u$) nhân với đạo hàm của hàm “bên trong” (tính theo biến $x$).
Áp dụng vào bài toán của chúng ta:

$${(\sin \left(2x\right))}^{\prime }=\cos \left(2x\right)\cdot {\left(2x\right)}^{\prime }$$
Thay kết quả từ Bước 3 vào biểu thức trên:

$${(\sin \left(2x\right))}^{\prime }=\cos \left(2x\right)\cdot 2$$
Sắp xếp lại cho gọn gàng, ta được kết quả cuối cùng:

$${(\sin \left(2x\right))}^{\prime }=2\cos \left(2x\right)$$

Vậy, đạo hàm của $\sin \left(2x\right)$ là $2\cos \left(2x\right)$.

Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em nắm vững hơn kiến thức về đạo hàm hàm hợp. Đây là một kỹ năng rất quan trọng, giúp các em giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!