Sinx+cosx=căn 2 sin 5x

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán lượng giác rất thú vị. Đây là dạng bài thường gặp trong chương trình lớp 11 và đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các công thức biến đổi lượng giác cơ bản. Chúng ta hãy cùng phân tích và giải bài toán này từng bước một nhé.

Phương trình chúng ta cần giải là:

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin 5x$$

Bước 1: Biến đổi vế trái của phương trình.

Giải thích phương pháp: Vế trái của phương trình có dạng $a\sin x+b\cos x$. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi về dạng $C\sin (x+\alpha )$ hoặc $C\cos (x-\beta )$. Mục đích của phương pháp này là để đưa tổng của hai hàm số lượng giác về một hàm số lượng giác duy nhất, giúp phương trình trở nên đơn giản hơn và dễ dàng giải quyết bằng các công thức cơ bản.

Với vế trái là $\sin x+\cos x$, ta có $a=1$ và $b=1$.

Tính hệ số $C$:

$$C=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$$

Sau đó, ta chia cả hai số hạng trong vế trái cho $C$ và nhân với $C$ ở ngoài:

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x)$$

Chúng ta biết rằng $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Áp dụng công thức cộng cho sin, $\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$, ta có:

$$\sqrt{2}(\sin x\cos \pi 4+\cos x\sin \pi 4)=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$$

Bước 2: Viết lại phương trình ban đầu.

Sau khi biến đổi vế trái, phương trình ban đầu trở thành:

$$\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}\sin 5x$$

Vì $\sqrt{2}\ne 0$, chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{2}$ để đơn giản hóa:

$$\sin (x+\frac{\pi }{4})=\sin 5x$$

Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản.

Giải thích phương pháp: Phương trình bây giờ đã đưa về dạng cơ bản $\sin A=\sin B$. Đây là một dạng phương trình lượng giác cơ bản mà chúng ta đã học rất kỹ. Công thức nghiệm tổng quát cho phương trình này là:

$$\sin A=\sin B\iff [\begin{array}{l}A=B+k2\pi \\ A=\pi -B+k2\pi \end{array}$$

với $k\in \mathbb{Z}$ (k là số nguyên).

Áp dụng công thức này, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1:

$$x+\frac{\pi }{4}=5x+k2\pi$$

Chuyển các số hạng chứa $x$ sang một vế, các số hạng còn lại sang vế kia:

$$\frac{\pi }{4}-k2\pi =5x-x$$
$$\frac{\pi }{4}-k2\pi =4x$$

Chia cả hai vế cho 4 để tìm $x$:

$$x=\frac{1}{4}(\frac{\pi }{4}-k2\pi )$$
$$x=\frac{\pi }{16}-\frac{k2\pi }{4}$$
$$x=\frac{\pi }{16}-k\frac{\pi }{2}$$

Vì $k$ là số nguyên, $-k$ cũng là số nguyên, nên ta có thể viết lại gọn hơn là:

$$x=\frac{\pi }{16}+k\frac{\pi }{2}$$

với $k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 2:

$$x+\frac{\pi }{4}=\pi -5x+k2\pi$$

Chuyển các số hạng chứa $x$ sang một vế, các số hạng còn lại sang vế kia:

$$x+5x=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi$$
$$6x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$$

Chia cả hai vế cho 6 để tìm $x$:

$$x=\frac{1}{6}(\frac{3\pi }{4}+k2\pi )$$
$$x=\frac{3\pi }{24}+\frac{k2\pi }{6}$$

Rút gọn các phân số:

$$x=\pi 8+k\frac{\pi }{3}$$

với $k\in \mathbb{Z}$.

Bước 4: Kết luận tập nghiệm.

Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là:

$$[\begin{array}{l}x=\pi 16+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{3}\end{array}$$

với $k\in \mathbb{Z}$ (k là số nguyên).

Các em nhớ kiểm tra lại các bước tính toán và áp dụng công thức cho chính xác nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô. Chúc các em học tốt!