Tìm số nguyên x, y sao cho x-2xy+y=0

Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm số nguyên rất thú vị. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm các cặp số nguyên `x, y` thỏa mãn một phương trình. Đây là dạng bài tập rèn luyện tư duy biến đổi biểu thức và áp dụng tính chất của số nguyên, rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 7 của chúng ta.

Lời giải chi tiết:

Bài toán yêu cầu tìm số nguyên $x$, $y$ sao cho $$x-2xy+y=0$$

Bước 1: Biến đổi phương trình để tạo ra nhân tử chung

Chúng ta có phương trình: $$x-2xy+y=0$$
Để có thể nhóm các hạng tử và tạo ra nhân tử chung (phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử), ta thường cố gắng đưa phương trình về dạng $(Ax+B)(Cy+D)=K$, trong đó $K$ là một hằng số. Quan sát phương trình ban đầu, ta thấy có hạng tử $-2xy$. Để việc tạo nhân tử chung dễ dàng hơn và tránh làm việc với phân số, ta nhân cả hai vế của phương trình với $2$.

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$, ta được:

$$2(x-2xy+y)=2\cdot 0$$
$$2x-4xy+2y=0$$

Lý do chọn phương pháp này: Việc nhân với $2$ giúp biến đổi các hệ số sao cho khi nhóm các hạng tử, ta có thể dễ dàng tạo ra một biểu thức chung mà không phải dùng đến phân số, giúp việc tính toán với số nguyên thuận tiện hơn. Đây là một kĩ thuật thường dùng để giải các bài toán phương trình nghiệm nguyên dạng này.

Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

Từ phương trình $2x-4xy+2y=0$, ta nhóm các hạng tử có chứa $x$ và $y$:

$$2x(1-2y)+2y=0$$

Để tạo ra nhân tử chung là $(1-2y)$ từ hạng tử $2y$, ta có thể viết $2y$ thành $-(1-2y)+1$. Tức là, ta cộng thêm $-1$ vào $2y$ để được $2y-1=-(1-2y)$. Để phương trình không đổi, ta phải trừ đi $1$ ở vế phải (hoặc cộng $1$ vào cả hai vế).

$$2x(1-2y)+2y-1=0-1$$
$$2x(1-2y)-(1-2y)=-1$$

Bây giờ, ta đã có nhân tử chung là $(1-2y)$. Ta nhóm lại:

$$(1-2y)(2x-1)=-1$$
Hoặc, viết lại cho dễ nhìn hơn:
$$(2x-1)(1-2y)=-1$$

Lý do chọn phương pháp này: Đây là phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử và thêm bớt một số hạng tự do. Mục tiêu là đưa phương trình về dạng tích của hai biểu thức chứa $x$ và $y$ bằng một hằng số. Khi đó, việc tìm nghiệm nguyên sẽ trở thành việc tìm các cặp ước của hằng số đó.

Bước 3: Tìm các cặp số nguyên

Vì $x$ và $y$ là các số nguyên, nên các biểu thức $(2x-1)$ và $(1-2y)$ cũng phải là các số nguyên.

Ta có tích của hai số nguyên là $-1$. Các cặp số nguyên có tích bằng $-1$ chỉ có thể là:

Trường hợp 1:
$$2x-1=1$$
và
$$1-2y=-1$$
Giải hệ phương trình này:

Từ $2x-1=1$ ta có:
$$2x=1+1$$
$$2x=2$$
$$x=1$$

Từ $1-2y=-1$ ta có:
$$-2y=-1-1$$
$$-2y=-2$$
$$y=1$$
Vậy, ta được cặp nghiệm $(x,y)=(1,1)$.

Trường hợp 2:
$$2x-1=-1$$
và
$$1-2y=1$$
Giải hệ phương trình này:

Từ $2x-1=-1$ ta có:
$$2x=-1+1$$
$$2x=0$$
$$x=0$$

Từ $1-2y=1$ ta có:
$$-2y=1-1$$
$$-2y=0$$
$$y=0$$
Vậy, ta được cặp nghiệm $(x,y)=(0,0)$.

Lý do chọn phương pháp này: Phương pháp này dựa trên tính chất cơ bản của số nguyên: nếu tích của hai số nguyên là một số nguyên $K$, thì mỗi số nguyên đó phải là một ước của $K$. Với $K=-1$, chỉ có hai cặp ước nguyên là $(1,-1)$ và $(-1,1)$. Việc này giúp chúng ta giới hạn các khả năng và tìm ra nghiệm một cách hệ thống.

Bước 4: Kết luận

Vậy, các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình đã cho là:

• $(x,y)=(1,1)$
• $(x,y)=(0,0)$

Các em có thể thử lại các giá trị này vào phương trình ban đầu để kiểm tra tính đúng đắn của lời giải nhé!