Tính nguyên hàm : cos^4x – sin^4x dx

Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập nguyên hàm rất thú vị, đòi hỏi các em vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác đã học ở lớp 11 và công thức nguyên hàm cơ bản ở lớp 12.

Bài toán yêu cầu chúng ta tính nguyên hàm của biểu thức ${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x$.

Đây là một dạng bài điển hình, nếu chúng ta tính nguyên hàm trực tiếp từng hàm số ${\cos }^{4}x$ hay ${\sin }^{4}x$ thì sẽ khá phức tạp. Tuy nhiên, nếu khéo léo biến đổi biểu thức dưới dấu nguyên hàm, bài toán sẽ trở nên rất đơn giản.

Chúng ta cùng đi vào lời giải chi tiết nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Biến đổi biểu thức dưới dấu nguyên hàm bằng hằng đẳng thức.

Ta nhận thấy biểu thức ${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x$ có dạng của hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Trong trường hợp này, ta có thể xem $a={\cos }^{2}x$ và $b={\sin }^{2}x$.

Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:

$${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x=({\cos }^{2}x{)}^2-({\sin }^{2}x{)}^2$$
$$=({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)$$

Lý do áp dụng phương pháp này là để đơn giản hóa biểu thức, biến đổi nó về dạng dễ tính nguyên hàm hơn.

Bước 2: Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản.

Chúng ta đã biết hai công thức lượng giác rất quan trọng:

• Công thức lượng giác cơ bản: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.
• Công thức cosin góc nhân đôi: $\cos (2x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$.

Thay các công thức này vào biểu thức đã biến đổi ở Bước 1:

$$({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)=\cos (2x)·1$$
$$=\cos (2x)$$

Lý do áp dụng phương pháp này là để đưa biểu thức về dạng lượng giác đơn giản nhất, thường là hàm sin hoặc cosin của một góc bội, để có thể trực tiếp áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản.

Bước 3: Tính nguyên hàm của biểu thức đã đơn giản.

Bây giờ, bài toán trở thành tính nguyên hàm của $\cos (2x)$.

Ta có công thức nguyên hàm cơ bản: ∫cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+C (với $a\ne 0$).

Trong trường hợp này, $a=2$ và $b=0$.

Do đó:

∫(cos4x−sin4x)dx=∫cos(2x)dx
$$=\frac{1}{2}\sin (2x)+C$$

Trong đó, $C$ là hằng số tích phân.

Lý do áp dụng phương pháp này là vì sau khi biến đổi, biểu thức đã trở về dạng nguyên hàm cơ bản mà chúng ta đã học, chỉ cần áp dụng công thức một cách trực tiếp.

Vậy, kết quả của nguyên hàm là:

$$\int ({\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x)dx=\frac{1}{2}\sin (2x)+C$$

Qua bài tập này, các em thấy rằng việc nắm vững các công thức lượng giác và kỹ năng biến đổi biểu thức là rất quan trọng trong việc giải các bài toán nguyên hàm, tích phân. Đôi khi, chỉ một bước biến đổi nhỏ cũng có thể giúp bài toán trở nên dễ dàng hơn rất nhiều!

Chúc các em học tốt!