Tính: sin6 ×sin42 ×sin66 × sin78

Lời giải:

Để tính giá trị của biểu thức đã cho, chúng ta sẽ sử dụng một công thức lượng giác đặc biệt liên quan đến các góc có dạng $x$, $60°–x$ và $60°+x$.

Giải thích phương pháp:

Chúng ta sẽ áp dụng công thức sau, vốn được suy ra từ các công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích và công thức nhân ba của hàm sin. Đây là các kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 10:

$\sin x\times \sin (60°–x)\times \sin (60°+x)=\frac{1}{4}\sin \left(3x\right)$

Biểu thức đã cho có các góc $6°$, $42°$, $66°$, $78°$. Chúng ta có thể nhóm các góc này để áp dụng công thức trên một cách khéo léo.

Các bước giải:

Bước 1: Phân tích các góc để tìm các nhóm có dạng $x$, $60°–x$, $60°+x$.

Ta nhận thấy các mối quan hệ giữa các góc:

• Với $x=6°$, ta có $\sin 6°$ và $\sin (60°+6°)=\sin 66°$. Để áp dụng công thức đầy đủ, ta cần có thêm $\sin (60°–6°)=\sin 54°$.
• Với $x=18°$, ta có $\sin (60°–18°)=\sin 42°$ và $\sin (60°+18°)=\sin 78°$. Để áp dụng công thức đầy đủ, ta cần có thêm $\sin 18°$.

Bước 2: Biến đổi biểu thức bằng cách nhóm các số hạng và nhân/chia với các số hạng còn thiếu để áp dụng công thức.

Gọi biểu thức cần tính là $P$.

$P=\sin 6\times \sin 42\times \sin 66\times \sin 78$

Ta nhóm các số hạng và điều chỉnh như sau:

$P=(\sin 6\times \sin 66)\times (\sin 42\times \sin 78)$

Áp dụng công thức cho nhóm thứ nhất $\sin 6\times \sin 66$:

Ta nhân và chia với $\sin 54°$ (do $54°=60°–6°$):

$\sin 6\times \sin 66=\frac{\sin 6\times \sin 54\times \sin 66}{\sin 54}$

Áp dụng công thức $\sin x\times \sin (60°–x)\times \sin (60°+x)=\frac{1}{4}\sin \left(3x\right)$ với $x=6°$:

$\sin 6\times \sin 54\times \sin 66=\frac{1}{4}\sin (3\times 6°)=\frac{1}{4}\sin 18°$

Do đó, ta có: $\sin 6\times \sin 66=\frac{\frac{1}{4}\sin 18°}{\sin 54°}$.

Tương tự, áp dụng công thức cho nhóm thứ hai $\sin 42\times \sin 78$:

Ta nhân và chia với $\sin 18°$ (do $42°=60°–18°$ và $78°=60°+18°$):

$\sin 42\times \sin 78=\frac{\sin 18\times \sin 42\times \sin 78}{\sin 18}$

Áp dụng công thức $\sin x\times \sin (60°–x)\times \sin (60°+x)=\frac{1}{4}\sin \left(3x\right)$ với $x=18°$:

$\sin 18\times \sin 42\times \sin 78=\frac{1}{4}\sin (3\times 18°)=\frac{1}{4}\sin 54°$

Do đó, ta có: $\sin 42\times \sin 78=\frac{\frac{1}{4}\sin 54°}{\sin 18°}$.

Bước 3: Thay các kết quả vừa tìm được vào biểu thức $P$ và rút gọn.

Bây giờ, chúng ta thay các biểu thức đã biến đổi vào $P$:

$P=\left(\frac{\frac{1}{4}\sin 18°}{\sin 54°}\right)\times \left(\frac{\frac{1}{4}\sin 54°}{\sin 18°}\right)$

Tiến hành nhân các phân số:

$P=\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\times \frac{\sin 18°}{\sin 54°}\times \frac{\sin 54°}{\sin 18°}$

Vì $\sin 18°\ne 0$ và $\sin 54°\ne 0$, ta có thể rút gọn các số hạng $\sin 18°$ và $\sin 54°$:

$P=\frac{1}{16}\times 1=\frac{1}{16}$

Kết luận:

Vậy, giá trị của biểu thức $\sin 6\times \sin 42\times \sin 66\times \sin 78$ là $\frac{1}{16}$.