(x1-x2)^4 biến đổi như nào vậy ạ?

Chào em, một bài tập rất hay để ôn lại các hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học ở lớp 8 và 9!

Để biến đổi biểu thức ${\left(x_1–x_2\right)}^4$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khai triển từ từ, áp dụng các hằng đẳng thức đã biết.

Phương pháp áp dụng:

Chúng ta sẽ sử dụng hai hằng đẳng thức cơ bản mà em đã được học:

1. Bình phương của một hiệu: ${\left(a–b\right)}^2=a^2–2ab+b^2$
2. Bình phương của một tổng ba hạng tử: ${\left(A+B+C\right)}^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC$. (Hoặc có thể nhóm các hạng tử lại để chỉ dùng hằng đẳng thức của hai hạng tử).

Lý do chọn phương pháp này là vì lũy thừa bậc 4 có thể được viết thành lũy thừa bậc 2 của lũy thừa bậc 2, tức là $X^4={\left(X^2\right)}^2$. Điều này giúp chúng ta sử dụng các hằng đẳng thức đã học mà không cần dùng đến khai triển nhị thức Newton cho bậc 4, vốn thường được học ở các lớp cao hơn.

Bây giờ chúng ta cùng biến đổi nhé:

Lời giải chi tiết:

Ta có biểu thức cần biến đổi là: ${\left(x_1–x_2\right)}^4$

Bước 1: Chuyển đổi lũy thừa bậc 4 về dạng bình phương của một bình phương.

Để dễ dàng áp dụng hằng đẳng thức, chúng ta viết ${\left(x_1–x_2\right)}^4$ thành ${\left[{\left(x_1–x_2\right)}^2\right]}^2$.

Điều này dựa trên quy tắc lũy thừa ${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}$. Ở đây, $m=2$ và $n=2$.

${\left(x_1–x_2\right)}^4={\left[{\left(x_1–x_2\right)}^2\right]}^2$

Bước 2: Khai triển bình phương bên trong.

Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu ${\left(a–b\right)}^2=a^2–2ab+b^2$ với $a=x_1$ và $b=x_2$:

${\left(x_1–x_2\right)}^2=x_1^2–2x_1{x}_2+x_2^2$

Bước 3: Thay kết quả vào biểu thức ban đầu và tiếp tục khai triển.

Bây giờ chúng ta có:
${\left(x_1–x_2\right)}^4={\left[x_1^2–2x_1{x}_2+x_2^2\right]}^2$

Đây là dạng bình phương của một tổng ba hạng tử. Chúng ta có thể coi $A=x_1^2$, $B=–2x_1{x}_2$, và $C=x_2^2$.
Áp dụng hằng đẳng thức ${\left(A+B+C\right)}^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC$:

${\left[x_1^2+\left(–2x_1{x}_2\right)+x_2^2\right]}^2$

$={\left(x_1^2\right)}^2+{\left(–2x_1{x}_2\right)}^2+{\left(x_2^2\right)}^2+2\left(x_1^2\right)\left(–2x_1{x}_2\right)+2\left(x_1^2\right)\left(x_2^2\right)+2\left(–2x_1{x}_2\right)\left(x_2^2\right)$

Bước 4: Tính toán và rút gọn từng hạng tử.

1. ${\left(x_1^2\right)}^2=x_1^4$

2. ${\left(–2x_1{x}_2\right)}^2={\left(–2\right)}^2\cdot {\left(x_1\right)}^2\cdot {\left(x_2\right)}^2=4x_1^2{x}_2^2$

3. ${\left(x_2^2\right)}^2=x_2^4$

4. $2\left(x_1^2\right)\left(–2x_1{x}_2\right)=–4x_1^{2+1}{x}_2=–4x_1^3{x}_2$

5. $2\left(x_1^2\right)\left(x_2^2\right)=2x_1^2{x}_2^2$

6. $2\left(–2x_1{x}_2\right)\left(x_2^2\right)=–4x_1{x}_2^{1+2}=–4x_1{x}_2^3$

Bước 5: Cộng các hạng tử lại và rút gọn các hạng tử đồng dạng.

Ghép các kết quả từ Bước 4 lại:

$x_1^4+4x_1^2{x}_2^2+x_2^4–4x_1^3{x}_2+2x_1^2{x}_2^2–4x_1{x}_2^3$

Sắp xếp lại theo thứ tự bậc của $x_1$ giảm dần và $x_2$ tăng dần, đồng thời nhóm các hạng tử đồng dạng:

$=x_1^4–4x_1^3{x}_2+\left(4x_1^2{x}_2^2+2x_1^2{x}_2^2\right)–4x_1{x}_2^3+x_2^4$

$=x_1^4–4x_1^3{x}_2+6x_1^2{x}_2^2–4x_1{x}_2^3+x_2^4$

Vậy, biểu thức ${\left(x_1–x_2\right)}^4$ được biến đổi thành:

$x_1^4–4x_1^3{x}_2+6x_1^2{x}_2^2–4x_1{x}_2^3+x_2^4$

Đây chính là dạng biến đổi cuối cùng của biểu thức. Các hệ số 1, -4, 6, -4, 1 là các hệ số trong khai triển nhị thức Newton (Pascal’s Triangle) bậc 4, nhưng chúng ta đã hoàn toàn sử dụng kiến thức về hằng đẳng thức lớp 8 và 9 để thực hiện.

Chúc em học tốt!