x^3-2x^2+x=0 giúp vs

Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị về phương trình mà các em thường gặp trong chương trình Đại số lớp 8 nhé.

Bài toán yêu cầu chúng ta giải phương trình: $x^3 – 2x^2 + x = 0$

Đây là một phương trình bậc ba, nhưng đừng lo lắng! Chúng ta hoàn toàn có thể giải nó bằng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học. Khi đưa phương trình về dạng tích của các nhân tử bằng 0, việc tìm nghiệm sẽ trở nên rất đơn giản.

Chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau đây:

Bước 1: Phân tích đa thức ở vế trái thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Quan sát đa thức $x^3 – 2x^2 + x$, chúng ta thấy rằng tất cả các hạng tử đều chứa thừa số $x$. Do đó, chúng ta có thể đặt $x$ làm nhân tử chung.

Ta viết lại phương trình như sau:

$$x \cdot x^2 – x \cdot 2x + x \cdot 1 = 0$$

Đặt $x$ ra ngoài làm nhân tử chung:

$$x\left(x^2 – 2x + 1\right) = 0$$

Giải thích: Phương pháp đặt nhân tử chung giúp chúng ta biến đổi một tổng (hoặc hiệu) thành một tích. Đây là bước cơ bản và rất hiệu quả để chuẩn bị áp dụng quy tắc giải phương trình tích.

Bước 2: Phân tích đa thức trong ngoặc thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Bây giờ, chúng ta hãy nhìn vào đa thức trong ngoặc: $x^2 – 2x + 1$. Các em có nhận ra đây là dạng khai triển của hằng đẳng thức nào không?

Chính xác! Đó là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$.

Áp dụng vào $x^2 – 2x + 1$, ta thấy $a = x$ và $b = 1$. Vậy:

$$x^2 – 2x + 1 = (x-1)^2$$

Thay biểu thức này vào phương trình ở Bước 1, chúng ta được:

$$x(x-1)^2 = 0$$

Giải thích: Việc nhận diện và sử dụng hằng đẳng thức giúp chúng ta phân tích đa thức một cách nhanh chóng và gọn gàng, đưa phương trình về dạng tích của các nhân tử đơn giản nhất.

Bước 3: Giải phương trình tích.

Chúng ta có phương trình dạng $A \cdot B = 0$. Theo quy tắc, để tích này bằng 0, thì ít nhất một trong các thừa số phải bằng 0.

Ở đây, chúng ta có hai thừa số: $x$ và $(x-1)^2$.

Vậy, ta sẽ xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Thừa số thứ nhất bằng 0.

$$x = 0$$

Đây là một nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: Thừa số thứ hai bằng 0.

$$(x-1)^2 = 0$$

Để $(x-1)^2$ bằng 0, thì biểu thức bên trong dấu ngoặc phải bằng 0:

$$x – 1 = 0$$

Giải phương trình bậc nhất này, ta được:

$$x = 1$$

Đây là nghiệm thứ hai của phương trình.

Giải thích: Quy tắc giải phương trình tích là một công cụ cực kỳ quan trọng và hiệu quả để giải các phương trình có bậc cao hơn 1 sau khi chúng ta đã phân tích được chúng thành nhân tử. Nó cho phép chúng ta chia một bài toán phức tạp thành các bài toán đơn giản hơn (giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai cơ bản).

Kết luận:

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 0$ và $x = 1$.

Tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{0; 1\right\}$.

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn cách giải phương trình bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ nhé. Chúc các em học tốt!