x^3-3x+2=0. Giải phương trình sau

Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một phương trình bậc ba. Mặc dù là phương trình bậc ba, nhưng với các kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử đã học trong chương trình Toán lớp 8, chúng ta hoàn toàn có thể giải được nó một cách dễ dàng!

Lời giải chi tiết:

Phương trình đã cho là: $x^3–3x+2=0$

Bước 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Đối với các phương trình bậc cao mà hệ số là số nguyên, chúng ta có thể thử các ước của hệ số tự do (số không chứa $x$) để tìm nghiệm nguyên. Ở đây, hệ số tự do là $2$.

Các ước của $2$ là $\pm 1,\pm 2$.

Ta thử lần lượt các giá trị:

Với $x=1$, thay vào phương trình ta có:

$1^3–3·1+2=1–3+2=0$

Vậy, $x=1$ là một nghiệm của phương trình. Điều này có nghĩa là đa thức $x^3–3x+2$ có một nhân tử là $(x–1)$.

(Giải thích phương pháp: Việc tìm nghiệm nguyên giúp chúng ta xác định được một nhân tử bậc nhất của đa thức. Từ đó, chúng ta có thể phân tích đa thức bậc ba thành tích của một nhân tử bậc nhất và một nhân tử bậc hai, giúp chúng ta đưa về dạng phương trình quen thuộc hơn và dễ giải hơn.)

Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Vì $x=1$ là nghiệm, ta sẽ phân tích đa thức $x^3–3x+2$ thành nhân tử bằng cách tách hạng tử để xuất hiện nhân tử chung $(x–1)$.

Phương trình đã cho là:

$x^3–3x+2=0$

Ta tách hạng tử như sau:

$x^3–x^2+x^2–x–2x+2=0$

Tiếp theo, ta nhóm các hạng tử lại:

$(x^3–x^2)+(x^2–x)–(2x–2)=0$

Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm:

$x^2(x–1)+x(x–1)–2(x–1)=0$

Lại thấy nhân tử chung $(x–1)$, ta đặt ra ngoài:

$(x–1)(x^2+x–2)=0$

(Giải thích phương pháp: Phân tích đa thức thành nhân tử là phương pháp cơ bản và hiệu quả để giải các phương trình bậc cao trong chương trình lớp 8. Khi một phương trình được đưa về dạng tích của các nhân tử bằng 0, chúng ta có thể giải từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.)

Bước 3: Giải các phương trình bậc nhất và bậc hai.

Phương trình tích $(x–1)(x^2+x–2)=0$ sẽ tương đương với việc một trong các nhân tử bằng $0$.

Trường hợp 1:

$x–1=0$

$x=1$

Trường hợp 2:

$x^2+x–2=0$

Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta có thể phân tích vế trái thành nhân tử bằng cách tách hạng tử giữa:

$x^2+2x–x–2=0$

Ta nhóm các hạng tử:

$x(x+2)–1(x+2)=0$

Đặt nhân tử chung $(x+2)$ ra ngoài:

$(x+2)(x–1)=0$

Từ đây, ta có hai khả năng:

$x+2=0\Rightarrow x=–2$

hoặc

$x–1=0\Rightarrow x=1$

(Giải thích phương pháp: Phương trình bậc nhất và bậc hai đã được học cách giải chi tiết trong chương trình lớp 8. Đối với phương trình bậc hai, việc phân tích thành nhân tử (nếu có thể) là một phương pháp hiệu quả để tìm nghiệm, dựa trên tính chất nếu tích của hai số bằng 0 thì ít nhất một trong hai số đó phải bằng 0.)

Bước 4: Kết luận.

Tổng hợp tất cả các nghiệm tìm được từ Trường hợp 1 và Trường hợp 2, ta thấy phương trình có các nghiệm là $x=1$ và $x=–2$.

Chú ý: Nghiệm $x=1$ xuất hiện hai lần, đây là nghiệm kép của phương trình.

Vậy, tập nghiệm của phương trình là $S=\{1;–2\}$.