Chào các em học sinh yêu quý của thầy/cô! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập hình học vector rất thú vị dựa trên kiến thức Sách giáo khoa Toán lớp 10 nhé.

Chúng ta có đề bài như sau: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AB = AC = 2cm. Tính độ dài của tổng hai vector \(\vec{AB} + \vec{AC}\).

Bây giờ, chúng ta sẽ đi từng bước để giải bài tập này một cách thật chi tiết:

Bước 1: Phân tích đề bài và xác định thông tin đã cho.

Đề bài cho chúng ta biết:
– Tam giác ABC là tam giác vuông.
– Góc vuông tại đỉnh A.
– Độ dài cạnh AB là 2 cm.
– Độ dài cạnh AC là 2 cm.
– Yêu cầu tính độ dài của vector \(\vec{AB} + \vec{AC}\).

Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng vector.

Chúng ta cần tính độ dài của tổng hai vector \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\). Nhớ lại kiến thức về quy tắc cộng vector trong chương trình Toán lớp 10. Có hai quy tắc chính là quy tắc ba điểm (hay quy tắc hiệu) và quy tắc hình bình hành.

Ở đây, hai vector \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) có chung điểm gốc là A. Khi hai vector có chung điểm gốc, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm vector tổng.

Quy tắc hình bình hành phát biểu rằng: Với hai vector \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) có chung điểm gốc A, ta dựng hình bình hành ABCD sao cho \(\vec{AB} = \vec{u}\) và \(\vec{AD} = \vec{v}\). Khi đó, \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{AC}\), với AC là đường chéo của hình bình hành xuất phát từ A.

Áp dụng vào bài toán của chúng ta, ta có \(\vec{AB} + \vec{AC}\). Ta sẽ dựng một hình bình hành ABDC sao cho \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) là hai cạnh kề xuất phát từ A. Theo quy tắc hình bình hành, ta có:
\[ \vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD} \]
trong đó D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC.

Bước 3: Tìm hiểu mối liên hệ giữa hình bình hành ABDC và tam giác vuông ABC đã cho.

Đề bài cho tam giác ABC vuông tại A. Điều này có nghĩa là góc \(\angle BAC = 90^\circ\).

Khi chúng ta dựng hình bình hành ABDC, theo định nghĩa hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau: AB song song với CD, và AB = CD. AC song song với BD, và AC = BD.

Vì \(\angle BAC = 90^\circ\) và AB song song với CD, AC song song với BD, nên hình bình hành ABDC có các góc vuông. Cụ thể, \(\angle BAC = 90^\circ\), \(\angle ABD = 90^\circ\), \(\angle BDC = 90^\circ\), \(\angle DCA = 90^\circ\).

Như vậy, hình bình hành ABDC chính là một hình chữ nhật.

Bước 4: Tính độ dài của vector tổng.

Chúng ta đã xác định được \(\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}\). Yêu cầu của đề bài là tính độ dài của vector tổng, tức là tính độ dài của vector \(\vec{AD}\), hay chính là độ dài đoạn thẳng AD.

Trong hình chữ nhật ABDC, AD là đường chéo. Chúng ta có thể tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật bằng định lý Pitago.

Xét tam giác vuông ABD (vuông tại B), ta có:
\[ AD^2 = AB^2 + BD^2 \]

Chúng ta biết AB = 2 cm. Vì ABDC là hình chữ nhật, nên BD = AC. Đề bài cho AC = 2 cm.

Thay số vào công thức Pitago:
\[ AD^2 = 2^2 + 2^2 \]
\[ AD^2 = 4 + 4 \]
\[ AD^2 = 8 \]

Để tìm AD, ta lấy căn bậc hai của 8:
\[ AD = \sqrt{8} \]

Chúng ta có thể rút gọn \(\sqrt{8}\) như sau:
\[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]

Vậy, độ dài của vector \(\vec{AD}\) là \(2\sqrt{2}\) cm.

Kết luận:

Ta có \(|\vec{AB} + \vec{AC}| = |\vec{AD}|\).

Do đó, \(|\vec{AB} + \vec{AC}| = AD = 2\sqrt{2}\) cm.

Vậy, độ dài của tổng hai vector \(\vec{AB} + \vec{AC}\) là \(2\sqrt{2}\) cm.

Hy vọng với cách giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách áp dụng quy tắc cộng vector và định lý Pitago trong bài toán hình học. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!