Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập rất thú vị liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn, đó là biểu diễn số 0,(3) dưới dạng phân số. Đây là một dạng bài tập quan trọng trong chương trình Toán 7 của cả ba bộ sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo và Cánh diều, giúp các em hiểu rõ hơn về số hữu tỉ.

Lời giải:

Để chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,(3) về dạng phân số, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp đại số từng bước một như sau:

Bước 1: Đặt giá trị cần tìm bằng một biến.

Chúng ta sẽ đặt số 0,(3) là \(x\). Mục tiêu của chúng ta là tìm giá trị của \(x\) dưới dạng phân số.

\[x = 0,(3)\]

Giải thích: Việc đặt biến giúp chúng ta dễ dàng thực hiện các phép toán đại số để biến đổi biểu thức.

Bước 2: Viết rõ ràng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Số 0,(3) có nghĩa là chữ số 3 lặp đi lặp lại mãi mãi sau dấu phẩy.

\[x = 0,3333… \quad (1)\]

Giải thích: Điều này giúp chúng ta hình dung rõ ràng hơn về số thập phân để thực hiện các bước tiếp theo.

Bước 3: Nhân phương trình với một lũy thừa của 10 để dịch chuyển dấu phẩy.

Vì chu kỳ lặp lại của số 0,(3) chỉ có một chữ số (là chữ số 3), chúng ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình (1) với \(10^1 = 10\). Điều này sẽ làm dịch chuyển dấu phẩy sang phải một chữ số.

\[10 \times x = 10 \times 0,3333…\]

\[10x = 3,3333… \quad (2)\]

Giải thích: Mục đích của bước này là tạo ra một phương trình mới mà phần thập phân vô hạn tuần hoàn của nó (0,3333…) hoàn toàn giống với phần thập phân của phương trình ban đầu. Điều này rất quan trọng để có thể loại bỏ phần lặp lại ở bước tiếp theo.

Bước 4: Trừ hai phương trình cho nhau.

Bây giờ chúng ta sẽ lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1):

\[10x – x = (3,3333…) – (0,3333…)\]

Giải thích: Khi trừ hai số thập phân có cùng phần lặp lại vô hạn, phần lặp lại đó sẽ tự động triệt tiêu nhau, chỉ còn lại phần nguyên hoặc phần thập phân hữu hạn.

Bước 5: Giải phương trình tìm \(x\).

Thực hiện phép trừ ở cả hai vế:

Vế trái: \(10x – x = 9x\)

Vế phải: \(3,3333… – 0,3333… = 3\)

Vậy, chúng ta có phương trình mới:

\[9x = 3\]

Bây giờ, chia cả hai vế cho 9 để tìm \(x\):

\[x = \frac{3}{9}\]

Bước 6: Rút gọn phân số (nếu có thể).

Phân số \(\frac{3}{9}\) có thể rút gọn được bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng, là 3.

\[x = \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}\]

Giải thích: Rút gọn phân số về dạng tối giản là một quy tắc quan trọng trong toán học, giúp biểu diễn kết quả một cách gọn gàng và chính xác nhất.

Kết luận:

Vậy, số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,(3) có thể được viết dưới dạng phân số là \(\frac{1}{3}\).

Chúc các em học tốt và nắm vững kiến thức này nhé!