Chào các em học sinh lớp 6 thân mến! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong tiết học hôm nay. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị liên quan đến dãy số có quy luật.

Đề bài của chúng ta là: 1 – 3 – 5 + 7 + 9 – 11 – 13 + … + 2025

Các em hãy quan sát thật kỹ dãy số này. Chúng ta thấy các số tự nhiên liên tiếp 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … và các dấu phép tính xen kẽ nhau.

Để giải bài toán này, cô trò mình sẽ cùng nhau phân tích quy luật của dãy số và cách nhóm các số hạng lại với nhau sao cho thuận tiện nhất.

Bước 1: Phân tích quy luật của dãy số và dấu phép tính.

Các em hãy nhìn vào các số hạng và dấu của chúng:
1 (dấu +)
-3 (dấu -)
-5 (dấu -)
+7 (dấu +)
+9 (dấu +)
-11 (dấu -)
-13 (dấu -)

Chúng ta nhận thấy có một quy luật lặp lại về dấu: +, -, -, +, +, -, -, …
Cứ sau hai dấu trừ là đến hai dấu cộng.

Bây giờ, chúng ta hãy nhìn vào bản thân các con số. Chúng là các số lẻ liên tiếp: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …

Để làm bài toán này dễ hơn, chúng ta sẽ thử nhóm các số hạng lại theo một quy luật nào đó.

Bước 2: Nhóm các số hạng thành từng nhóm có quy luật.

Chúng ta hãy thử nhóm các số theo 4 số hạng một lần, vì quy luật dấu lặp lại là 4 (dấu +, -, -, + rồi lại lặp lại). Tuy nhiên, nếu nhóm 4 số thì số cuối cùng (2025) có thể không đủ 4 số để tạo thành một nhóm hoàn chỉnh.

Cô có một cách nhóm khác, các em cùng quan sát nhé:

Chúng ta sẽ nhóm các số hạng thành từng cặp có quy luật đặc biệt. Hãy nhìn vào 4 số hạng đầu tiên: 1 – 3 – 5 + 7.
Nếu nhóm như sau: (1 – 3) + (-5 + 7).
Ta được: -2 + 2 = 0.

Tiếp theo, hãy nhìn vào 4 số hạng tiếp theo: 9 – 11 – 13 + 15 (nếu có).
Nhóm lại: (9 – 11) + (-13 + 15) = -2 + 2 = 0.

Quy luật này có vẻ ổn, nhưng ở đây chúng ta không có đủ 4 số ở mỗi lần nhóm.

Bây giờ, chúng ta hãy thử cách nhóm khác, dựa trên sự lặp lại của dấu.
Quan sát: 1 – 3 – 5 + 7 + 9 – 11 – 13 + …

Chúng ta sẽ nhóm như sau:
Nhóm 1: 1 – 3
Nhóm 2: -5 + 7
Nhóm 3: +9 – 11
Nhóm 4: -13 + 15 (nếu có)

Như vậy, mỗi nhóm hai số hạng này có kết quả là:
1 – 3 = -2
-5 + 7 = 2
9 – 11 = -2
13 – 15 = 2 (nếu có)

Các em thấy không, kết quả của các nhóm xen kẽ là -2 và 2.

Bước 3: Xác định số lượng nhóm và giá trị của các nhóm.

Đầu tiên, chúng ta cần xác định xem dãy số của chúng ta có bao nhiêu số hạng.
Dãy số là các số lẻ từ 1 đến 2025.
Số các số lẻ từ 1 đến n là: (n – 1) / 2 + 1.
Vậy, số các số hạng trong dãy là: (2025 – 1) / 2 + 1 = 2024 / 2 + 1 = 1012 + 1 = 1013 số hạng.

Tuy nhiên, cách nhóm như trên (theo 2 số một lần) không phản ánh đúng dấu ban đầu. Dấu ban đầu là +, -, -, +, +, -, -, …

Chúng ta hãy quay lại với việc nhóm 4 số.
Ta có 1 – 3 – 5 + 7.
Rồi đến 9 – 11 – 13 + 15 (nếu có).

Hãy thử nhóm 4 số hạng liên tiếp và xem xét dấu của chúng:
(1 – 3 – 5 + 7) = (1 + 7) – (3 + 5) = 8 – 8 = 0.

Tiếp theo: (9 – 11 – 13 + 15) = (9 + 15) – (11 + 13) = 24 – 24 = 0.

Quy luật này rất đẹp! Cứ 4 số hạng liên tiếp được nhóm lại thì có tổng bằng 0.

Bây giờ, chúng ta cần xác định xem từ 1 đến 2025, có bao nhiêu nhóm 4 số hạng như vậy.
Các nhóm này sẽ có dạng:
Nhóm 1: 1 – 3 – 5 + 7
Nhóm 2: 9 – 11 – 13 + 15
Nhóm 3: 17 – 19 – 21 + 23
…

Số hạng đầu tiên của mỗi nhóm 4 số hạng là các số 1, 9, 17, …
Đây là một cấp số cộng với số hạng đầu là 1 và công sai là 8.
Số hạng thứ k của cấp số cộng này là: \(a_k = a_1 + (k-1)d = 1 + (k-1)8\).

Chúng ta cần tìm xem số hạng cuối cùng của nhóm cuối cùng là bao nhiêu, và liệu 2025 có nằm gọn trong một nhóm 4 số hạng hay không.

Dãy số của chúng ta là 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 2025.
Số lượng các số hạng là 1013.

Nếu chúng ta nhóm 4 số một lần, ta có 1013 số hạng.
1013 chia cho 4 được 253 dư 1.
Điều này có nghĩa là chúng ta có 253 nhóm đầy đủ 4 số hạng, và còn thừa lại 1 số hạng cuối cùng.

Các nhóm này sẽ là:
(1 – 3 – 5 + 7) = 0
(9 – 11 – 13 + 15) = 0
…

Chúng ta cần tìm số hạng cuối cùng của nhóm thứ 253.
Số hạng đầu của nhóm thứ k là \(1 + (k-1)8\).
Số hạng đầu của nhóm thứ 253 là: \(1 + (253-1)8 = 1 + 252 \times 8 = 1 + 2016 = 2017\).

Vậy, nhóm thứ 253 sẽ bắt đầu bằng 2017.
Nhóm thứ 253 là: 2017 – 2019 – 2021 + 2023.
Tổng của nhóm này là: (2017 – 2019 – 2021 + 2023) = (2017 + 2023) – (2019 + 2021) = 4040 – 4040 = 0.

Sau khi kết thúc nhóm thứ 253, chúng ta đã dùng hết các số hạng cho đến 2023.
Số hạng cuối cùng trong dãy là 2025.
Và chúng ta còn dư ra 1 số hạng cuối cùng.

Vậy, bài toán của chúng ta có thể viết lại như sau:
(1 – 3 – 5 + 7) + (9 – 11 – 13 + 15) + … + (2017 – 2019 – 2021 + 2023) + 2025

Mỗi nhóm 4 số hạng đầu tiên đều có tổng bằng 0.
Ta có 253 nhóm như vậy.
Tổng của 253 nhóm này là: 253 * 0 = 0.

Vậy, biểu thức của chúng ta trở thành:
0 + 2025

Bước 4: Tính kết quả cuối cùng.

Tổng của biểu thức là: 0 + 2025 = 2025.

Kết luận:

Vậy, giá trị của biểu thức 1 – 3 – 5 + 7 + 9 – 11 – 13 + … + 2025 là 2025.

Cô hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững hơn cách phân tích quy luật của dãy số, cách nhóm các số hạng và tính toán một cách cẩn thận.
Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé! Chúc các em học tốt!