(-1/7)^0+(-1/7)^1+(-1/7)^2+….+(-1/7)^2017
Bài toán của chúng ta là tính giá trị của biểu thức sau:
(-1/7)^0 + (-1/7)^1 + (-1/7)^2 + …. + (-1/7)^2017
Trước hết, cô trò mình cùng phân tích bài toán nào.
Chúng ta thấy đây là một tổng của các số hạng mà mỗi số hạng là một lũy thừa với cơ số là -1/7. Các số mũ tăng dần từ 0 đến 2017.
Bước 1: Nhận dạng dạng của biểu thức.
Biểu thức này có dạng một tổng cấp số nhân.
Một cấp số nhân là một dãy số trong đó mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số r cố định gọi là công bội.
Trong bài toán này, số hạng đầu tiên là a = (-1/7)^0.
Công bội r chính là cơ số của lũy thừa, tức là r = -1/7.
Số lượng các số hạng trong tổng này là bao nhiêu?
Các số mũ đi từ 0 đến 2017, vậy có 2017 – 0 + 1 = 2018 số hạng.
Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân.
Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân là:
S_n = a * (1 – r^n) / (1 – r)
trong đó:
– S_n là tổng n số hạng.
– a là số hạng đầu tiên.
– r là công bội.
– n là số lượng số hạng.
Ở bài toán của chúng ta:
– a = (-1/7)^0
– r = -1/7
– n = 2018
Trước hết, ta tính số hạng đầu tiên a:
Bất kỳ số nào khác 0, lũy thừa với số mũ 0 đều bằng 1.
Vậy, a = (-1/7)^0 = 1.
Bây giờ, chúng ta thay các giá trị vào công thức tính tổng S_n:
S_2018 = 1 * (1 – (-1/7)^2018) / (1 – (-1/7))
Bước 3: Tính toán từng phần của biểu thức.
Ta xét mẫu số trước:
1 – (-1/7) = 1 + 1/7 = 7/7 + 1/7 = 8/7.
Tiếp theo, ta xét lũy thừa trong tử số: (-1/7)^2018.
Vì số mũ 2018 là số chẵn, nên lũy thừa của một số âm sẽ là số dương.
(-1/7)^2018 = (1/7)^2018.
Vậy, tử số là: 1 – (1/7)^2018.
Bây giờ, ta ghép lại vào công thức tổng:
S_2018 = (1 – (1/7)^2018) / (8/7)
Để chia một phân số cho một phân số, ta nhân phân số thứ nhất với nghịch đảo của phân số thứ hai.
Nghịch đảo của 8/7 là 7/8.
S_2018 = (1 – (1/7)^2018) * (7/8)
Bước 4: Rút gọn và trình bày kết quả cuối cùng.
Chúng ta có thể nhân 7/8 vào trong ngoặc:
S_2018 = 7/8 1 – 7/8 (1/7)^2018
S_2018 = 7/8 – (7/8) * (1/7)^2018
Ta có thể viết (1/7)^2018 = 1^2018 / 7^2018 = 1 / 7^2018.
S_2018 = 7/8 – (7/8) * (1 / 7^2018)
S_2018 = 7/8 – (7 / (8 * 7^2018))
Chúng ta có thể rút gọn 7 ở tử số và một thừa số 7 ở mẫu số:
7 / (8 7^2018) = 1 / (8 7^(2018-1)) = 1 / (8 * 7^2017).
Vậy, kết quả cuối cùng là:
S_2018 = 7/8 – 1 / (8 * 7^2017)
Chúng ta có thể quy đồng mẫu số để biểu diễn dưới dạng một phân số duy nhất nếu muốn, nhưng biểu thức trên đã khá gọn gàng rồi.
Để quy đồng, mẫu số chung là 8 * 7^2017.
7/8 = (7 7^2017) / (8 7^2017) = 7^2018 / (8 * 7^2017).
S_2018 = 7^2018 / (8 7^2017) – 1 / (8 7^2017)
S_2018 = (7^2018 – 1) / (8 * 7^2017)
Như vậy, giá trị của biểu thức (-1/7)^0 + (-1/7)^1 + (-1/7)^2 + …. + (-1/7)^2017 là 7/8 – 1 / (8 7^2017) hoặc (7^2018 – 1) / (8 7^2017).
Cô hy vọng với cách trình bày chi tiết này, các em đã hiểu rõ bài toán. Hãy nhớ ôn tập công thức cấp số nhân để có thể giải quyết những bài toán tương tự nhé! Chúc các em học tốt!
Đáp án:
\(\begin{array}{l}
A = {\left( { – \dfrac{1}{7}} \right)^0} + {\left( { – \dfrac{1}{7}} \right)^1} + {\left( { – \dfrac{1}{7}} \right)^2} + … + {\left( { – \dfrac{1}{7}} \right)^{2017}}\\
\Rightarrow \left( { – \dfrac{1}{7}} \right).A = {\left( { – \dfrac{1}{7}} \right)^1} + {\left( { – \dfrac{1}{7}} \right)^2} + … + {\left( { – \dfrac{1}{7}} \right)^{2018}}\\
\Rightarrow A – \left( { – \dfrac{1}{7}A} \right) = {\left( { – \dfrac{1}{7}} \right)^{2018}} – {\left( { – \dfrac{1}{7}} \right)^0}\\
\Rightarrow \dfrac{8}{7}A = \dfrac{1}{{{7^{2018}}}} – 1\\
\Rightarrow A = \dfrac{{1 – {7^{2018}}}}{{{{8.7}^{2017}}}}
\end{array}\)