1. Cho tam giác ABC thỏa mãn sinA = (sinB +sinC) / (cosB +cosC) . Chứng minh tam…
2. Cho tam giác ABC thỏa mãn sinA / ma = sinB/mb = sinC/mc (trong đó ma,mb, mc là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A,B, C) . Chứng minh tam giác ABC đều
—
Bài 1: Chứng minh tam giác ABC vuông
Đề bài: Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện \( \sin A = \frac{\sin B + \sin C}{\cos B + \cos C} \). Chứng minh tam giác ABC vuông.
Lời giải chi tiết:
Để chứng minh tam giác ABC vuông, chúng ta cần chỉ ra một trong các góc của tam giác bằng 90 độ. Ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác đã học để biến đổi biểu thức đã cho.
Bước 1: Biến đổi vế phải của biểu thức.
Ta nhận thấy vế phải có dạng \(\frac{\sin B + \sin C}{\cos B + \cos C}\). Ta sẽ sử dụng các công thức cộng và trừ lượng giác để biến đổi.
Nhớ lại công thức:
– \( \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \)
– \( \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \)
Áp dụng vào biểu thức:
\( \frac{\sin B + \sin C}{\cos B + \cos C} = \frac{2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \cos \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}} \)
Bước 2: Rút gọn biểu thức.
Nếu \( \cos \frac{B-C}{2} \neq 0 \), ta có thể rút gọn:
\( \frac{\sin B + \sin C}{\cos B + \cos C} = \frac{\sin \frac{B+C}{2}}{\cos \frac{B+C}{2}} = \tan \frac{B+C}{2} \)
Bước 3: Sử dụng tính chất của tổng ba góc trong tam giác.
Trong tam giác ABC, ta có \( A + B + C = 180^\circ \).
Suy ra \( B + C = 180^\circ – A \).
Do đó, \( \frac{B+C}{2} = \frac{180^\circ – A}{2} = 90^\circ – \frac{A}{2} \).
Thay vào biểu thức đã rút gọn:
\( \tan \frac{B+C}{2} = \tan (90^\circ – \frac{A}{2}) \)
Nhớ lại công thức phụ chéo: \( \tan (90^\circ – x) = \cot x \).
Vậy, \( \tan \frac{B+C}{2} = \cot \frac{A}{2} \).
Bước 4: Đặt biểu thức đã biến đổi bằng vế trái của đề bài.
Ta có \( \sin A = \tan \frac{B+C}{2} \).
Thay \( \tan \frac{B+C}{2} = \cot \frac{A}{2} \):
\( \sin A = \cot \frac{A}{2} \)
Chuyển đổi \( \sin A \) sang dạng liên quan đến \( \frac{A}{2} \). Ta có công thức hạ bậc: \( \sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \).
Và \( \cot \frac{A}{2} = \frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}} \).
Vậy, phương trình trở thành:
\( 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = \frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}} \)
Bước 5: Giải phương trình lượng giác.
Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\( 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} – \frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}} = 0 \)
Đặt nhân tử chung \( \cos \frac{A}{2} \):
\( \cos \frac{A}{2} \left( 2 \sin \frac{A}{2} – \frac{1}{\sin \frac{A}{2}} \right) = 0 \)
Để phương trình này đúng, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: \( \cos \frac{A}{2} = 0 \)
Vì \( A \) là một góc trong tam giác, \( 0^\circ < A < 180^\circ \), nên \( 0^\circ < \frac{A}{2} < 90^\circ \). Trong khoảng này, \( \cos \frac{A}{2} \) luôn dương, nên trường hợp này không xảy ra.
Trường hợp 2: \( 2 \sin \frac{A}{2} - \frac{1}{\sin \frac{A}{2}} = 0 \)
Nhân cả hai vế với \( \sin \frac{A}{2} \) (lưu ý \( \sin \frac{A}{2} \neq 0 \) vì \( 0^\circ < \frac{A}{2} < 90^\circ \)):
\( 2 \sin^2 \frac{A}{2} - 1 = 0 \)
\( 2 \sin^2 \frac{A}{2} = 1 \)
\( \sin^2 \frac{A}{2} = \frac{1}{2} \)
\( \sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Vì \( 0^\circ < \frac{A}{2} < 90^\circ \), \( \sin \frac{A}{2} \) luôn dương. Do đó, ta chọn nghiệm dương:
\( \sin \frac{A}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Điều này có nghĩa là \( \frac{A}{2} = 45^\circ \).
Suy ra \( A = 2 \times 45^\circ = 90^\circ \).
Kết luận:
Vì góc \( A \) của tam giác ABC bằng \( 90^\circ \), nên tam giác ABC vuông tại A.
—
Bài 2: Chứng minh tam giác ABC đều
Đề bài: Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện \( \frac{\sin A}{m_a} = \frac{\sin B}{m_b} = \frac{\sin C}{m_c} \), trong đó \( m_a, m_b, m_c \) là độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C tương ứng. Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải chi tiết:
Để chứng minh tam giác ABC đều, ta cần chỉ ra ba cạnh bằng nhau, hoặc ba góc bằng nhau. Ta sẽ sử dụng Định lý Sin và công thức tính độ dài đường trung tuyến.
Bước 1: Nhắc lại Định lý Sin trong tam giác.
Định lý Sin phát biểu rằng trong một tam giác bất kỳ, tỉ số giữa độ dài một cạnh và sin của góc đối diện là không đổi và bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Cụ thể:
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)
Trong đó \( a, b, c \) là độ dài các cạnh BC, CA, AB và \( R \) là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Từ đây, ta có:
\( \sin A = \frac{a}{2R} \)
\( \sin B = \frac{b}{2R} \)
\( \sin C = \frac{c}{2R} \)
Bước 2: Nhắc lại công thức tính độ dài đường trung tuyến.
Độ dài đường trung tuyến từ đỉnh A (\( m_a \)), từ đỉnh B (\( m_b \)), và từ đỉnh C (\( m_c \)) được tính theo công thức:
\( m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4} \)
\( m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 – b^2}{4} \)
\( m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 – c^2}{4} \)
Bước 3: Thay thế các biểu thức vào điều kiện đã cho.
Điều kiện đã cho là:
\( \frac{\sin A}{m_a} = \frac{\sin B}{m_b} = \frac{\sin C}{m_c} \)
Thay \( \sin A, \sin B, \sin C \) bằng các biểu thức tương ứng từ Định lý Sin:
\( \frac{\frac{a}{2R}}{m_a} = \frac{\frac{b}{2R}}{m_b} = \frac{\frac{c}{2R}}{m_c} \)
\( \frac{a}{2R m_a} = \frac{b}{2R m_b} = \frac{c}{2R m_c} \)
Vì \( 2R \) là hằng số dương, ta có thể rút gọn:
\( \frac{a}{m_a} = \frac{b}{m_b} = \frac{c}{m_c} \)
Đặt \( k = \frac{a}{m_a} = \frac{b}{m_b} = \frac{c}{m_c} \).
Từ đó suy ra:
\( a = k m_a \Rightarrow a^2 = k^2 m_a^2 \)
\( b = k m_b \Rightarrow b^2 = k^2 m_b^2 \)
\( c = k m_c \Rightarrow c^2 = k^2 m_c^2 \)
Bước 4: Sử dụng công thức đường trung tuyến và bình phương hai vế.
Ta có \( 4 m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 – a^2 \).
Thay \( m_a^2 = \frac{a^2}{k^2} \), \( b^2 = \frac{b^2}{k^2} \), \( c^2 = \frac{c^2}{k^2} \) vào biểu thức này không hợp lý vì chúng ta đã thay \( b^2, c^2 \) bằng \( k^2 m_b^2, k^2 m_c^2 \).
Ta cần biến đổi trực tiếp từ \( a^2 = k^2 m_a^2 \) và các biểu thức tương tự.
\( a^2 = k^2 \left( \frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4} \right) \)
\( 4a^2 = k^2 (2b^2 + 2c^2 – a^2) \)
\( 4a^2 = 2k^2 b^2 + 2k^2 c^2 – k^2 a^2 \)
\( (4 + k^2) a^2 = 2k^2 b^2 + 2k^2 c^2 \) (1)
Tương tự, ta có:
\( (4 + k^2) b^2 = 2k^2 a^2 + 2k^2 c^2 \) (2)
\( (4 + k^2) c^2 = 2k^2 a^2 + 2k^2 b^2 \) (3)
Bước 5: So sánh các phương trình và suy luận.
Xét phương trình (1) và (2):
\( (4 + k^2) a^2 = 2k^2 b^2 + 2k^2 c^2 \)
\( (4 + k^2) b^2 = 2k^2 a^2 + 2k^2 c^2 \)
Trừ hai phương trình cho nhau:
\( (4 + k^2) a^2 – (4 + k^2) b^2 = (2k^2 b^2 + 2k^2 c^2) – (2k^2 a^2 + 2k^2 c^2) \)
\( (4 + k^2) (a^2 – b^2) = 2k^2 b^2 – 2k^2 a^2 \)
\( (4 + k^2) (a^2 – b^2) = -2k^2 (a^2 – b^2) \)
\( (4 + k^2) (a^2 – b^2) + 2k^2 (a^2 – b^2) = 0 \)
\( (4 + k^2 + 2k^2) (a^2 – b^2) = 0 \)
\( (4 + 3k^2) (a^2 – b^2) = 0 \)
Vì \( k^2 \) luôn dương (do \( a, m_a > 0 \)), nên \( 4 + 3k^2 > 0 \).
Do đó, ta phải có \( a^2 – b^2 = 0 \), suy ra \( a^2 = b^2 \).
Vì \( a, b \) là độ dài cạnh nên \( a = b \).
Tương tự, xét phương trình (2) và (3), ta sẽ suy ra được \( b = c \).
Bước 6: Kết luận.
Vì \( a = b \) và \( b = c \), nên \( a = b = c \).
Khi ba cạnh của tam giác bằng nhau, tam giác đó là tam giác đều.
Kết luận:
Tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau, do đó tam giác ABC là tam giác đều.
—
Thầy/cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải của hai bài toán này. Hãy ôn tập kỹ các công thức lượng giác và công thức liên quan đến tam giác để làm tốt hơn nữa nhé! Chúc các em học tốt!
1.
Ta có: \( A+ B+C=180^o\) (tính chất tổng ba góc trong một tam giác)
\(\Rightarrow\dfrac{A}{2}+\dfrac B2+\dfrac C2=90^o\)
\(\Rightarrow\dfrac B2+\dfrac C2=\dfrac {\pi}2-\dfrac A2\)
\(\Rightarrow\sin\left({\dfrac B2 + \dfrac C2}\right) =\sin\left({\dfrac {\pi}2 -\dfrac A2}\right) = \cos\dfrac A2\);
\(\cos\left({\dfrac B2 +\dfrac C2}\right) = \cos\left({\dfrac{\pi}2 -\dfrac A2}\right) = \sin\dfrac A2\);
\(\sin A = \dfrac{\sin B + \sin C}{\cos B + \cos C}\)
\(⇔ 2\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2 = \dfrac{2\sin\left({\dfrac B2 +\dfrac C2}\right)\cos\left({\dfrac B2 – \dfrac C2}\right)}{2\cos\left({\dfrac B2 +\dfrac C2}\right)\cos\left({\dfrac B2 -\dfrac C2}\right)}\)
\(⇔ 2\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2 = \dfrac{\sin\left({\dfrac B2 +\dfrac C2}\right)}{\cos\left({\dfrac B2 + \dfrac C2}\right)}\)
\(⇔ 2\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2 =\dfrac{ \cos\dfrac A2}{\sin\dfrac A2}\)
\(⇔ 2\sin²\dfrac A2 = 1\)
\(⇔ 1 – 2\sin²\dfrac A2 = 0\)
\(⇔ \cos A = 0\)
\(⇔ A =\dfrac π2\) (đpcm)
2.
Ta có:
\(4m^2_a = 2(b² + c²) – a²; \sin²A = \dfrac {a²}{4R²}\)
\(4m^2_b = 2(c² + a²) – b²; \sin²B = \dfrac{b²}{4R²}\)
\(4m^2_c = 2(a² + b²) – c²; \sin²C = \dfrac{c²}{4R²}\)
\(\dfrac{\sin A}{m_a} = \dfrac {\sin B}{m_b} =\dfrac{\sin C}{m_c}\)
Lấy nghịch đảo, bình phương hai vế và nhân với 4
\(⇔ \dfrac{4m^2_a}{\sin²A} =\dfrac{ 4m^2_b}{\sin²B} = \dfrac{4m^2_c}{\sin²C}\)
\(⇔ \dfrac{2(b² + c²) – a²}{a²} = \dfrac{2(c² + a²) – b²}{b²} =\dfrac {2(a² + b²) – c²}{c²}\)
\(⇔ \dfrac{b² + c²}{a²} = \dfrac{c² + a²}{b²} =\dfrac{ a² + b²}{c²} = \dfrac{2(a² + b² + c²)}{a² + b² + c²} = 2\) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau lớp 7)
\(⇔\left\{\begin{array}{I} b² + c² = 2a²(1)\\ c² + a² = 2b²(2)\end{array}\right.\)
Lấy (2) – (1) ta được:
\(a² – b² = 2(b² – a²)\)
\(⇔ 3(a² – b²) = 0\)
\(⇔ a = b\) thay vào (1) \(⇒ c = a\)
\(⇔ a = b = c\) (đpcm)