1/cosx+1/sin2x=2/sin4x

Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” một bài toán lượng giác rất thú vị trong chương trình Toán 11 nhé. Bài toán này sẽ giúp chúng ta ôn lại các công thức biến đổi và cách giải phương trình lượng giác cơ bản.

Dưới đây là lời giải chi tiết, từng bước một, các em chú ý theo dõi nhé!

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Để các biểu thức trong phương trình có nghĩa, các mẫu số phải khác 0. Cụ thể:

• $\cos x\ne 0$: Điều này có nghĩa là $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ (với $k\in \mathbb{Z}$).
• $\sin 2x\ne 0$: Điều này có nghĩa là $2x\ne k\pi$, hay $x\ne k\pi 2$ (với $k\in \mathbb{Z}$).
• $\sin 4x\ne 0$: Điều này có nghĩa là $4x\ne k\pi$, hay $x\ne \frac{k\pi }{4}$ (với $k\in \mathbb{Z}$).

Điều kiện $x\ne k\pi 4$ bao hàm cả hai điều kiện còn lại ($x\ne \frac{k\pi }{2}$ và $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$). Vì vậy, điều kiện xác định chung của phương trình là $x\ne \frac{k\pi }{4}$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Giải thích lý do: Việc tìm điều kiện xác định là vô cùng quan trọng để đảm bảo các phép toán chia không bị chia cho 0, tránh các nghiệm ngoại lai không hợp lệ.

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng đơn giản hơn

Phương trình ban đầu là: $\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin 2x}=\frac{2}{\sin 4x}$

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản (công thức nhân đôi) để đưa về cùng một góc hoặc cùng một loại hàm số lượng giác.

• Áp dụng công thức nhân đôi: $\sin 2x=2\sin x\cos x$
• Áp dụng công thức nhân đôi: $\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$

Thay thế vào phương trình:

$$\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{2\sin x\cos x}=\frac{2}{2\sin 2x\cos 2x}$$

Rút gọn vế phải:

$$\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{2\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin 2x\cos 2x}$$

Quy đồng mẫu số vế trái:

$$\frac{2\sin x}{2\sin x\cos x}+\frac{1}{2\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin 2x\cos 2x}$$

$$\frac{2\sin x+1}{2\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin 2x\cos 2x}$$

Thay $2\sin x\cos x$ bằng $\sin 2x$ ở vế trái:

$$\frac{2\sin x+1}{\sin 2x}=\frac{1}{\sin 2x\cos 2x}$$

Vì $\sin 2x\ne 0$ (theo điều kiện xác định), ta có thể nhân cả hai vế với $\sin 2x$:

$$2\sin x+1=\frac{1}{\cos 2x}$$

Giải thích lý do: Bước này nhằm mục đích quy đồng và rút gọn biểu thức, loại bỏ các mẫu số để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn, dễ giải quyết hơn. Việc sử dụng công thức nhân đôi giúp chúng ta làm việc với các góc và hàm số đồng nhất.

Bước 3: Đặt ẩn phụ và giải phương trình đại số

Chúng ta lại tiếp tục biến đổi $\cos 2x$ theo $\sin x$ bằng công thức $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$.

Phương trình trở thành:

$$2\sin x+1=\frac{1}{1-2{\sin }^{2}x}$$

Đặt $t=\sin x$ (điều kiện $-1\le t\le 1$).
Phương trình trở thành:
$$2t+1=\frac{1}{1-2t^2}$$

Lưu ý rằng $1-2t^2\ne 0$ (tương đương với $\cos 2x\ne 0$, đã được bao gồm trong điều kiện xác định).

Nhân chéo hai vế:

$$(2t+1)(1-2t^2)=1$$

Khai triển và chuyển vế:

$$2t-4t^3+1-2t^2=1$$

$$-4t^3-2t^2+2t=0$$

Chia cả hai vế cho $-2$:

$$2t^3+t^2-t=0$$

Đặt $t$ làm nhân tử chung:

$$t(2t^2+t-1)=0$$

Phương trình này có hai trường hợp:

Trường hợp 1: $t=0$

Trường hợp 2: $2t^2+t-1=0$

Giải phương trình bậc hai $2t^2+t-1=0$ (sử dụng công thức nghiệm $t=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$):

$$\Delta =1^2-4\left(2\right)(-1)=1+8=9$$

$$t_1=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\left(2\right)}=\frac{-1+3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

$$t_2=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\left(2\right)}=\frac{-1-3}{4}=\frac{-4}{4}=-1$$

Giải thích lý do: Đặt ẩn phụ $t=\sin x$ giúp chuyển phương trình lượng giác phức tạp về một phương trình đại số (bậc ba trong trường hợp này), mà chúng ta đã có phương pháp giải rõ ràng.

Bước 4: Giải các phương trình lượng giác cơ bản từ ẩn phụ

Ta có ba giá trị của $t$ cần xét:

1. Với $t=0$

$$\sin x=0$$

Nghiệm của phương trình này là $x=k\pi$ (với $k\in \mathbb{Z}$).

Kiểm tra điều kiện xác định: Điều kiện là $x\ne \frac{n\pi }{4}$. Nếu $x=k\pi$, thì $\sin 2x=\sin \left(2k\pi \right)=0$, và $\sin 4x=\sin \left(4k\pi \right)=0$. Điều này làm cho mẫu số ban đầu bằng 0, vi phạm điều kiện xác định.

Vậy, $x=k\pi$ là nghiệm ngoại lai, cần loại bỏ.

2. Với $t=\frac{1}{2}$

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

Nghiệm của phương trình này là:

• $x=\pi 6+k2\pi$ (với $k\in \mathbb{Z}$)
• $x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{5\pi }{6}+k2\pi$ (với $k\in \mathbb{Z}$)

Kiểm tra điều kiện xác định:
* Với $x=\pi 6+k2\pi$:
* $\cos x=\cos (\pi 6)=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne 0$.
* $\sin 2x=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne 0$.
* $\sin 4x=\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne 0$.
Tất cả đều thỏa mãn điều kiện xác định.
* Với $x=5\pi 6+k2\pi$:
* $\cos x=\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\ne 0$.
* $\sin 2x=\sin \left(\frac{5\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}2\ne 0$.
* $\sin 4x=\sin \left(\frac{10\pi }{3}\right)=\sin (3\pi +\frac{\pi }{3})=-\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}2\ne 0$.
Tất cả đều thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy, các nghiệm $x=\pi 6+k2\pi$ và $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$ là các nghiệm hợp lệ.

3. Với $t=-1$

$$\sin x=-1$$

Nghiệm của phương trình này là $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (với $k\in \mathbb{Z}$).

Kiểm tra điều kiện xác định: Nếu $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, thì $\cos x=\cos (-\frac{\pi }{2})=0$. Điều này vi phạm điều kiện xác định $\cos x\ne 0$.
Vậy, $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ là nghiệm ngoại lai, cần loại bỏ.

Giải thích lý do: Sau khi tìm được các giá trị của ẩn phụ, ta phải thay ngược lại để tìm $x$ và sau đó đối chiếu với điều kiện xác định ban đầu. Bước này cực kỳ quan trọng để đảm bảo tất cả các nghiệm tìm được đều hợp lệ cho phương trình gốc. Bỏ qua bước kiểm tra có thể dẫn đến nghiệm sai.

Bước 5: Kết luận tập nghiệm

Sau khi loại bỏ các nghiệm ngoại lai, tập hợp các nghiệm của phương trình là:

$$x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$$

$$x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$$

với $k\in \mathbb{Z}$.

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn cách giải phương trình lượng giác. Hãy luôn nhớ các bước: đặt điều kiện, biến đổi hợp lý, giải phương trình cơ bản và kiểm tra lại điều kiện các em nhé!