6sin ²3x + cos12x = 14

Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập lượng giác khá thú vị. Khi giải các phương trình lượng giác, một trong những phương pháp quan trọng là đưa các biểu thức về cùng một cung hoặc cùng một hàm số để dễ dàng giải quyết.

Phương pháp giải:

Chúng ta nhận thấy trong phương trình có các góc $3x$ và $12x$. Vì $12x$ là bội của $3x$ ($12x=4\cdot 3x$), ta sẽ sử dụng các công thức biến đổi lượng giác (cụ thể là công thức hạ bậc và công thức nhân đôi) để đưa phương trình về một biến số duy nhất (ví dụ: $\cos 6x$) và sau đó giải phương trình đại số tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Ta có phương trình đã cho là:

$$6{\sin }^{2}3x+\cos 12x=14$$

Bước 1: Hạ bậc biểu thức ${\sin }^{2}3x$.

Chúng ta áp dụng công thức hạ bậc: ${\sin }^2\alpha =\frac{1–\cos 2\alpha }{2}$.

Với $\alpha =3x$, ta có:

$${\sin }^{2}3x=\frac{1–\cos (2\cdot 3x)}{2}=\frac{1–\cos 6x}{2}$$

Thay vào phương trình ban đầu:

$$6\left(\frac{1–\cos 6x}{2}\right)+\cos 12x=14$$
$$3(1–\cos 6x)+\cos 12x=14$$

Bước 2: Biến đổi $\cos 12x$ theo $\cos 6x$.

Chúng ta áp dụng công thức nhân đôi cho hàm cosin: $\cos 2\beta =2{\cos }^2\beta –1$.

Với $\beta =6x$, ta có $12x=2\cdot 6x$, nên:

$$\cos 12x=2{\cos }^{2}6x–1$$

Bước 3: Thay thế vào phương trình và đơn giản.

Thay biểu thức của $\cos 12x$ vào phương trình ở Bước 1:

$$3(1–\cos 6x)+(2{\cos }^{2}6x–1)=14$$

Khai triển và sắp xếp lại các hạng tử:

$$3–3\cos 6x+2{\cos }^{2}6x–1=14$$
$$2{\cos }^{2}6x–3\cos 6x+2=14$$
$$2{\cos }^{2}6x–3\cos 6x–12=0$$

Bước 4: Đặt ẩn phụ và giải phương trình bậc hai.

Đặt $t=\cos 6x$. (Điều kiện: $–1\le t\le 1$, vì giá trị của hàm cosin luôn nằm trong đoạn này).

Phương trình trở thành phương trình bậc hai theo $t$:

$$2t^2–3t–12=0$$

Ta tính biệt thức $\mathrm{\Delta }$ (delta) của phương trình bậc hai này:

$$\mathrm{\Delta }=b^2–4ac={(–3)}^2–4\cdot 2\cdot (–12)$$
$$\mathrm{\Delta }=9+96=105$$

Vì $\mathrm{\Delta }>0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$$t_{\mathrm{1,2}}=\frac{–b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{3\pm \sqrt{105}}{2\cdot 2}=\frac{3\pm \sqrt{105}}{4}$$

Ta có hai giá trị của $t$:

$$t_1=\frac{3+\sqrt{105}}{4}$$
$$t_2=\frac{3–\sqrt{105}}{4}$$

Bước 5: Kiểm tra điều kiện của ẩn phụ và kết luận.

Ta cần kiểm tra xem các giá trị $t_1,t_2$ có thỏa mãn điều kiện $–1\le t\le 1$ hay không.

Với $t_1=\frac{3+\sqrt{105}}{4}$:

Ta so sánh $t_1$ với $1$:

$$\frac{3+\sqrt{105}}{4}>1\iff 3+\sqrt{105}>4\iff \sqrt{105}>1$$

Điều này là đúng vì $105>1$. Do đó, $t_1>1$, không thỏa mãn điều kiện $–1\le t\le 1$.

Với $t_2=\frac{3–\sqrt{105}}{4}$:

Ta so sánh $t_2$ với $–1$:

$$\frac{3–\sqrt{105}}{4}<–1\iff 3–\sqrt{105}<–4\iff 7<\sqrt{105}$$

Để kiểm tra bất đẳng thức này, ta bình phương hai vế (vì cả hai vế đều dương):

$$7^2<{\left(\sqrt{105}\right)}^2\iff 49<105$$

Điều này là đúng. Do đó, $t_2<–1$, cũng không thỏa mãn điều kiện $–1\le t\le 1$.

Vì cả hai nghiệm của phương trình bậc hai đều không thỏa mãn điều kiện $–1\le \cos 6x\le 1$, nên phương trình ban đầu vô nghiệm.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm rõ cách biến đổi và giải các phương trình lượng giác phức tạp hơn. Hãy luôn nhớ kiểm tra điều kiện của nghiệm khi đặt ẩn phụ nhé!