Bài tập 1: Phà xuôi dòng và ngược dòng

Chúng ta sẽ phân tích bài toán này bằng cách xác định các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm.

1. Phân tích bài toán:

* Đã biết:
* Thời gian phà xuôi dòng từ A đến B: \( t_{xuôi} = 2 \) giờ.
* Thời gian phà ngược dòng từ B về A: \( t_{ngược} = 3 \) giờ.
* Cần tìm:
* Thời gian phà tắt máy trôi theo dòng nước từ A đến B.

2. Các khái niệm liên quan:

Khi phà di chuyển trên dòng nước, tốc độ của phà so với bờ sẽ phụ thuộc vào tốc độ của phà so với nước và tốc độ của dòng nước so với bờ.

* Gọi \( v_p \) là tốc độ của phà so với nước.
* Gọi \( v_n \) là tốc độ của dòng nước so với bờ.
* Gọi \( s_{AB} \) là quãng đường từ A đến B.

3. Thiết lập phương trình:

* Khi phà xuôi dòng: Tốc độ của phà so với bờ là tổng tốc độ của phà và tốc độ của dòng nước.
\( v_{xuôi} = v_p + v_n \)
Quãng đường \( s_{AB} \) được tính bằng: \( s_{AB} = v_{xuôi} \times t_{xuôi} \)
Hay: \( s_{AB} = (v_p + v_n) \times 2 \) (Phương trình 1)

* Khi phà ngược dòng: Tốc độ của phà so với bờ là hiệu tốc độ của phà và tốc độ của dòng nước.
\( v_{ngược} = v_p – v_n \)
Quãng đường \( s_{AB} \) được tính bằng: \( s_{AB} = v_{ngược} \times t_{ngược} \)
Hay: \( s_{AB} = (v_p – v_n) \times 3 \) (Phương trình 2)

* Khi phà tắt máy trôi theo dòng nước: Tốc độ của phà lúc này chính là tốc độ của dòng nước so với bờ.
\( v_{trôi} = v_n \)
Thời gian để phà trôi theo dòng nước từ A đến B là \( t_{trôi} \).
Quãng đường \( s_{AB} \) được tính bằng: \( s_{AB} = v_{trôi} \times t_{trôi} \)
Hay: \( s_{AB} = v_n \times t_{trôi} \) (Phương trình 3)

4. Giải bài toán:

Từ (Phương trình 1) và (Phương trình 2), ta có thể lập một hệ phương trình để tìm mối quan hệ giữa \( v_p \) và \( v_n \).
Vì quãng đường \( s_{AB} \) là như nhau trong cả hai trường hợp:
\( (v_p + v_n) \times 2 = (v_p – v_n) \times 3 \)
\( 2v_p + 2v_n = 3v_p – 3v_n \)
\( 5v_n = v_p \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay mối quan hệ này vào (Phương trình 1) hoặc (Phương trình 2) để biểu diễn \( s_{AB} \) theo \( v_n \). Thay \( v_p = 5v_n \) vào (Phương trình 1):
\( s_{AB} = (5v_n + v_n) \times 2 \)
\( s_{AB} = (6v_n) \times 2 \)
\( s_{AB} = 12v_n \)

Bây giờ, chúng ta sử dụng (Phương trình 3): \( s_{AB} = v_n \times t_{trôi} \).
So sánh hai biểu thức cho \( s_{AB} \):
\( 12v_n = v_n \times t_{trôi} \)

Vì \( v_n \) là tốc độ của dòng nước và khác 0, ta có thể chia cả hai vế cho \( v_n \):
\( t_{trôi} = 12 \) giờ.

5. Kết luận:

Nếu phà tắt máy thả trôi theo dòng nước thì mất thời gian là 12 giờ.

—

Bài tập 2: Thang cuốn tự động

Chúng ta sẽ phân tích bài toán này dựa trên nguyên lý cộng vận tốc.

1. Phân tích bài toán:

* Đã biết:
* Thời gian thang cuốn đi từ tầng trệt lên tầng 1 khi thang chạy: \( t_{thang\_chay} = 1 \) phút.
* Thời gian người khách đi bộ lên lầu khi thang dừng (thang không chạy): \( t_{khach\_dung} = 3 \) phút.
* Cần tìm:
* Thời gian đi từ tầng trệt lên lầu 1 khi thang cuốn vẫn chạy mà người khách vẫn bước lên.

2. Các khái niệm liên quan:

* Gọi \( s \) là quãng đường từ tầng trệt lên tầng 1.
* Gọi \( v_{thang} \) là tốc độ của thang cuốn so với mặt đất.
* Gọi \( v_{khach\_thang} \) là tốc độ của người khách đi bộ trên thang cuốn (tức là tốc độ của người khách so với thang).
* Gọi \( v_{khach\_dat} \) là tốc độ của người khách so với mặt đất khi người đó bước lên thang cuốn đang chạy.

3. Thiết lập phương trình:

* Khi thang cuốn chạy và người khách đứng yên trên thang:
Tốc độ của thang cuốn so với mặt đất là \( v_{thang} \).
Quãng đường \( s \) được tính bằng: \( s = v_{thang} \times t_{thang\_chay} \)
Hay: \( s = v_{thang} \times 1 \) (Phương trình 1)

* Khi thang cuốn dừng và người khách đi bộ lên:
Tốc độ của người khách so với mặt đất là \( v_{khach\_dung} \).
Quãng đường \( s \) được tính bằng: \( s = v_{khach\_dung} \times t_{khach\_dung} \)
Hay: \( s = v_{khach\_dung} \times 3 \) (Phương trình 2)

* Khi thang cuốn chạy và người khách bước lên:
Tốc độ của người khách so với mặt đất là \( v_{khach\_dat} \). Đây là tổng của tốc độ thang cuốn so với mặt đất và tốc độ người khách so với thang cuốn.
\( v_{khach\_dat} = v_{thang} + v_{khach\_thang} \)
Tuy nhiên, ở đây chúng ta có thể suy luận rằng, khi người khách bước lên thang cuốn đang chạy, tốc độ tổng hợp của người đó so với mặt đất sẽ là sự kết hợp của việc thang cuốn đưa người đó lên và việc người đó tự bước lên.

Chúng ta hãy suy nghĩ theo cách khác:
Khi người khách đi bộ lên thang cuốn dừng mất 3 phút, tức là quãng đường \( s \) tương đương với 3 phút đi bộ của người đó.
Khi thang cuốn chạy, nó đưa người đó đi hết quãng đường \( s \) trong 1 phút.

Hãy xét tốc độ của người khách so với mặt đất khi người đó vừa đi thang cuốn vừa bước lên.
Vận tốc người khách đối với mặt đất \( v_{khach\_dat} \) sẽ là \( v_{thang} + v_{khach\_thang} \).
Nhưng \( v_{khach\_thang} \) là tốc độ người khách đi bộ trên thang. Ta có thể coi \( v_{khach\_thang} \) chính là tốc độ mà người khách dùng để đi hết quãng đường \( s \) trong 3 phút nếu thang không chạy.
Vậy, ta có thể coi \( v_{khach\_thang} = v_{khach\_dung} \).
Nghĩa là, tốc độ của người khách so với mặt đất khi thang chạy và người khách bước lên là:
\( v_{khach\_dat} = v_{thang} + v_{khach\_dung} \)

Thời gian cần tìm là \( t_{chay\_buoc} \).
Quãng đường \( s \) được tính bằng: \( s = v_{khach\_dat} \times t_{chay\_buoc} \)
Hay: \( s = (v_{thang} + v_{khach\_dung}) \times t_{chay\_buoc} \) (Phương trình 3)

4. Giải bài toán:

Từ (Phương trình 1) và (Phương trình 2), ta có thể biểu diễn \( v_{thang} \) và \( v_{khach\_dung} \) theo \( s \):
\( v_{thang} = \frac{s}{1} = s \) (Nếu chọn đơn vị quãng đường là “chiều cao tầng 1”)
\( v_{khach\_dung} = \frac{s}{3} \)

Bây giờ, chúng ta thay các giá trị này vào (Phương trình 3):
\( s = (s + \frac{s}{3}) \times t_{chay\_buoc} \)
\( s = (\frac{3s}{3} + \frac{s}{3}) \times t_{chay\_buoc} \)
\( s = (\frac{4s}{3}) \times t_{chay\_buoc} \)

Vì \( s \) là quãng đường và khác 0, ta có thể chia cả hai vế cho \( s \):
\( 1 = \frac{4}{3} \times t_{chay\_buoc} \)
\( t_{chay\_buoc} = \frac{3}{4} \) phút.

Để dễ hiểu hơn, ta có thể đổi sang giây:
\( t_{chay\_buoc} = \frac{3}{4} \times 60 \) giây = 45 giây.

5. Kết luận:

Nếu thang cuốn vẫn chạy mà người khách vẫn bước lên thì đi từ tầng trệt lên lầu 1 mất thời gian là 3/4 phút (hoặc 45 giây).

Chúc các em luôn học tốt môn Vật lý! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé.