Bài 1:

Đây là một bài toán tổ hợp và xác suất. Để giải bài này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phần bù, tức là đi tìm biến cố đối của nó.

Bước 1: Tìm số phần tử của không gian mẫu.
Không gian mẫu \( \Omega \) là tập hợp tất cả các cách chọn ngẫu nhiên 9 học sinh từ 18 học sinh giỏi.
Số phần tử của không gian mẫu là số tổ hợp chập 9 của 18:
\[ n(\Omega) = C_{18}^9 = 48620 \]

Bước 2: Gọi tên và tìm biến cố đối.
Gọi A là biến cố: “9 học sinh được chọn có đủ cả ba khối”.
Khi đó, biến cố đối của A, ký hiệu là \( \bar{A} \), là biến cố: “9 học sinh được chọn không có đủ cả ba khối”.
Điều này xảy ra khi 9 học sinh được chọn chỉ thuộc 1 khối hoặc 2 khối.

Ta xét các trường hợp của \( \bar{A} \):

Trường hợp 1: Chọn 9 học sinh chỉ từ khối 11 và khối 10. (Vắng mặt khối 12)
Tổng số học sinh khối 11 và 10 là \( 6 + 5 = 11 \) học sinh.
Số cách chọn là: \( C_{11}^9 = 55 \) cách.

Trường hợp 2: Chọn 9 học sinh chỉ từ khối 12 và khối 10. (Vắng mặt khối 11)
Tổng số học sinh khối 12 và 10 là \( 7 + 5 = 12 \) học sinh.
Số cách chọn là: \( C_{12}^9 = 220 \) cách.

Trường hợp 3: Chọn 9 học sinh chỉ từ khối 12 và khối 11. (Vắng mặt khối 10)
Tổng số học sinh khối 12 và 11 là \( 7 + 6 = 13 \) học sinh.
Số cách chọn là: \( C_{13}^9 = 715 \) cách.

Lưu ý: Ta không thể chọn 9 học sinh chỉ từ 1 khối, vì số học sinh giỏi ở mỗi khối đều nhỏ hơn 9. Do đó, các trường hợp trên không có sự giao nhau.

Số phần tử của biến cố đối \( \bar{A} \) là:
\[ n(\bar{A}) = 55 + 220 + 715 = 990 \]

Bước 3: Tính xác suất.
Xác suất của biến cố đối là:
\[ P(\bar{A}) = \frac{n(\bar{A})}{n(\Omega)} = \frac{990}{48620} = \frac{99}{4862} \]
Xác suất của biến cố A là:
\[ P(A) = 1 – P(\bar{A}) = 1 – \frac{99}{4862} = \frac{4763}{4862} \]
Vậy, xác suất để mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn là \( \frac{4763}{4862} \).

Bài 2:

Bước 1: Mô tả không gian mẫu.
Gieo lần lượt 2 con xúc xắc, mỗi con có 6 mặt. Kết quả của mỗi lần gieo là một cặp số (i, j) trong đó i là số chấm của xúc xắc thứ nhất, j là số chấm của xúc xắc thứ hai.
Số phần tử của không gian mẫu là:
\[ n(\Omega) = 6 \times 6 = 36 \]

Bước 2: Tìm các kết quả thuận lợi cho biến cố.
Gọi B là biến cố: “Tổng số chấm trên 2 mặt bằng hoặc lớn hơn 8”.
Ta liệt kê các cặp (i, j) có tổng \( i + j \ge 8 \):

• Tổng bằng 8: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) -> có 5 cặp.
• Tổng bằng 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) -> có 4 cặp.
• Tổng bằng 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4) -> có 3 cặp.
• Tổng bằng 11: (5, 6), (6, 5) -> có 2 cặp.
• Tổng bằng 12: (6, 6) -> có 1 cặp.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là:
\[ n(B) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 \]

Bước 3: Tính xác suất.
Xác suất của biến cố B là:
\[ P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \]
Vậy, xác suất để tổng số chấm trên 2 mặt bằng hoặc lớn hơn 8 là \( \frac{5}{12} \).

Bài 3:

Đây là bài toán áp dụng công thức xác suất Bernoulli.

Bước 1: Phân tích phép thử.
Ta thực hiện phép thử “Gieo 1 con xúc xắc” 4 lần. Các lần gieo là độc lập với nhau.
Trong mỗi lần gieo:

• Gọi là “thành công” nếu ta gieo được mặt 3 chấm. Xác suất thành công là: \( p = \frac{1}{6} \).
• Gọi là “thất bại” nếu ta gieo không được mặt 3 chấm. Xác suất thất bại là: \( q = 1 – p = 1 – \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \).

Bước 2: Áp dụng công thức Bernoulli.
Gọi C là biến cố: “Trong 4 lần gieo, mặt 3 chấm xuất hiện đúng 1 lần”.
Áp dụng công thức Bernoulli cho \( n=4 \) phép thử và \( k=1 \) lần thành công, ta có:
\[ P(C) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
Thay số vào, ta có:
\[ P(C) = C_4^1 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4-1} \]

Bước 3: Tính toán kết quả.
\[ P(C) = 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \]
\[ P(C) = 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{125}{216} \]
\[ P(C) = \frac{500}{1296} = \frac{125}{324} \]
Vậy, xác suất để mặt 3 chấm xuất hiện đúng 1 lần là \( \frac{125}{324} \).

Hy vọng với phần giải chi tiết này, em đã hiểu rõ cách làm từng bài. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé. Chúc em học tốt