Chào các em, hôm nay thầy/cô sẽ cùng các em ôn tập lại một số dạng bài tập cơ bản của chương trình Toán lớp 6. Chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài tập sau đây.

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a) \(A = 9 – |x – 15|\)

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, chúng ta cần xem xét tính chất của biểu thức.
Ta biết rằng, với mọi số thực x, giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn không âm, tức là:
\(|x – 15| \ge 0\)

Bây giờ, chúng ta xét biểu thức \(A = 9 – |x – 15|\).
Để A đạt giá trị lớn nhất, thì số trừ đi 9, tức là \(|x – 15|\), phải có giá trị nhỏ nhất.
Giá trị nhỏ nhất của \(|x – 15|\) là 0.

\(|x – 15|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x – 15 = 0\).
Giải phương trình này, ta được:
\(x = 15\)

Khi \(x = 15\), thì \(|x – 15| = |15 – 15| = |0| = 0\).
Thay \(x = 15\) vào biểu thức A, ta có:
\(A = 9 – |15 – 15|\)
\(A = 9 – 0\)
\(A = 9\)

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức A là 9.

b) \(B = 15 – (3x – 1)^2\)

Tương tự như phần a), để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B, chúng ta cần xem xét tính chất của biểu thức.
Ta biết rằng, với mọi số thực x, bình phương của một biểu thức luôn không âm, tức là:
\((3x – 1)^2 \ge 0\)

Bây giờ, chúng ta xét biểu thức \(B = 15 – (3x – 1)^2\).
Để B đạt giá trị lớn nhất, thì số trừ đi 15, tức là \((3x – 1)^2\), phải có giá trị nhỏ nhất.
Giá trị nhỏ nhất của \((3x – 1)^2\) là 0.

\((3x – 1)^2\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(3x – 1 = 0\).
Giải phương trình này, ta được:
\(3x = 1\)
\(x = 1/3\)

Khi \(x = 1/3\), thì \((3x – 1)^2 = (3 \times 1/3 – 1)^2 = (1 – 1)^2 = 0^2 = 0\).
Thay \(x = 1/3\) vào biểu thức B, ta có:
\(B = 15 – (3 \times 1/3 – 1)^2\)
\(B = 15 – 0\)
\(B = 15\)

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức B là 15.

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức

\(A = 8/9 – 1/72 – 1/56 – 1/42 – … – 1/6 – 1/2\)

Để tính giá trị của biểu thức A, chúng ta cần nhận ra quy luật của các phân số trừ đi.
Các phân số \(1/72, 1/56, 1/42, …, 1/6, 1/2\) có mẫu số là tích của hai số hơn kém nhau một đơn vị.
Cụ thể, ta có thể viết lại như sau:
\(1/2 = 1/(1 \times 2)\)
\(1/6 = 1/(2 \times 3)\)
\(1/12 = 1/(3 \times 4)\) (nếu có)
…
\(1/42 = 1/(6 \times 7)\)
\(1/56 = 1/(7 \times 8)\)
\(1/72 = 1/(8 \times 9)\)

Chúng ta có thể áp dụng công thức phân tích một phân số thành hiệu của hai phân số, còn gọi là phương pháp “tách mẫu số”.
Công thức: \(1/(n \times (n+1)) = 1/n – 1/(n+1)\).

Bây giờ, chúng ta sẽ viết lại các phân số trong biểu thức A:
\(1/2 = 1/(1 \times 2) = 1/1 – 1/2\)
\(1/6 = 1/(2 \times 3) = 1/2 – 1/3\)
\(1/12 = 1/(3 \times 4) = 1/3 – 1/4\) (Nếu có, nhưng trong đề bài không có)
…
\(1/42 = 1/(6 \times 7) = 1/6 – 1/7\)
\(1/56 = 1/(7 \times 8) = 1/7 – 1/8\)
\(1/72 = 1/(8 \times 9) = 1/8 – 1/9\)

Để biểu thức A có thể tính toán dễ dàng, chúng ta cần xác định các mẫu số theo thứ tự tăng dần của tích. Tuy nhiên, đề bài đã cho sẵn các phân số theo một thứ tự nhất định. Ta cần sắp xếp lại cho đúng quy luật dãy số.

Nhìn vào các mẫu số: 72, 56, 42, …, 6, 2.
Ta thấy rằng, nếu ta đảo ngược thứ tự và viết lại các phân số theo quy luật trên, ta sẽ có:
\(1/2 = 1/(1 \times 2)\)
\(1/6 = 1/(2 \times 3)\)
\(1/12\) (không có trong đề)
…
\(1/42 = 1/(6 \times 7)\)
\(1/56 = 1/(7 \times 8)\)
\(1/72 = 1/(8 \times 9)\)

Như vậy, các phân số bị trừ đi là:
\(1/72 + 1/56 + 1/42 + … + 1/6 + 1/2\)
= \((1/8 – 1/9) + (1/7 – 1/8) + (1/6 – 1/7) + … + (1/2 – 1/3) + (1/1 – 1/2)\)

Chúng ta cần sắp xếp lại các phân số này theo thứ tự mẫu số tăng dần để thấy rõ sự rút gọn:
\(1/2 = 1/(1 \times 2) = 1/1 – 1/2\)
\(1/6 = 1/(2 \times 3) = 1/2 – 1/3\)
\(1/12\) (không có)
\(1/20\) (không có)
\(1/30\) (không có)
\(1/42 = 1/(6 \times 7) = 1/6 – 1/7\)
\(1/56 = 1/(7 \times 8) = 1/7 – 1/8\)
\(1/72 = 1/(8 \times 9) = 1/8 – 1/9\)

Dãy phân số bị trừ là: \(1/72, 1/56, 1/42, …, 1/6, 1/2\).
Ta viết lại biểu thức trong ngoặc là:
\( (1/8 – 1/9) + (1/7 – 1/8) + (1/6 – 1/7) + … + (1/2 – 1/3) + (1/1 – 1/2) \)

Khi thực hiện phép cộng, các số hạng ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
\(1/8 – 1/9\)
\(+ 1/7 – 1/8\)
\(+ 1/6 – 1/7\)
…
\(+ 1/2 – 1/3\)
\(+ 1/1 – 1/2\)

Tổng của dãy phân số này sẽ còn lại:
\(1/1 – 1/9 = 1 – 1/9\)

Bây giờ, chúng ta thay vào biểu thức A:
\(A = 8/9 – (1/72 + 1/56 + 1/42 + … + 1/6 + 1/2)\)
\(A = 8/9 – (1 – 1/9)\)

Thực hiện phép tính:
\(A = 8/9 – 1 + 1/9\)
\(A = (8/9 + 1/9) – 1\)
\(A = 9/9 – 1\)
\(A = 1 – 1\)
\(A = 0\)

Vậy, giá trị của biểu thức A là 0.

Thầy/cô hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững hơn về cách tìm giá trị lớn nhất của biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối hoặc bình phương, cũng như phương pháp “tách mẫu số” để tính tổng các dãy phân số.
Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!