Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và làm một số bài tập về giới hạn của dãy số, dựa trên kiến thức đã học trong sách giáo khoa Toán lớp 11.

Chúng ta sẽ bắt đầu với hai bài tập đơn giản sau:

Bài tập 1: Tìm giới hạn của dãy số \(u_n = \frac{1}{5n+3}\) khi \(n\) tiến ra dương vô cùng.

Phân tích bài toán:
Khi \(n\) tiến ra dương vô cùng, chúng ta thấy rằng mẫu số \(5n+3\) cũng sẽ tiến ra dương vô cùng. Chúng ta cần xem xét xem phân số có dạng \(\frac{1}{\text{vô cùng lớn}}\) sẽ tiến về đâu.

Các bước giải:

Bước 1: Nhận dạng dạng vô định (nếu có)
Trong trường hợp này, khi \(n \to +\infty\), ta có:
Mẫu số: \(5n+3 \to +\infty\)
Tử số: \(1\) là hằng số.
Vậy ta có dạng \(\frac{1}{+\infty}\). Đây là một dạng quen thuộc mà chúng ta đã học.

Bước 2: Áp dụng các quy tắc về giới hạn cơ bản
Chúng ta đã được học quy tắc giới hạn cơ bản:
Nếu \(\lim_{n \to +\infty} b_n = +\infty\) hoặc \(\lim_{n \to +\infty} b_n = -\infty\), thì \(\lim_{n \to +\infty} \frac{c}{b_n} = 0\), với \(c\) là một hằng số.

Bước 3: Tính toán và kết luận
Áp dụng quy tắc trên cho bài toán của chúng ta, với \(c=1\) và \(b_n = 5n+3\).
Vì \(\lim_{n \to +\infty} (5n+3) = +\infty\),
Nên \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{5n+3} = 0\).

Vậy, giới hạn của dãy số \(u_n = \frac{1}{5n+3}\) khi \(n\) tiến ra dương vô cùng là 0.

Bài tập 2: Tìm giới hạn của dãy số \(v_n = \frac{1}{2n+7}\) khi \(n\) tiến ra dương vô cùng.

Phân tích bài toán:
Tương tự như bài tập 1, khi \(n\) tiến ra dương vô cùng, chúng ta cần xem xét sự thay đổi của mẫu số \(2n+7\) và ảnh hưởng của nó đến giá trị của phân số.

Các bước giải:

Bước 1: Nhận dạng dạng vô định (nếu có)
Khi \(n \to +\infty\), ta có:
Mẫu số: \(2n+7 \to +\infty\)
Tử số: \(1\) là hằng số.
Ta có dạng \(\frac{1}{+\infty}\).

Bước 2: Áp dụng các quy tắc về giới hạn cơ bản
Chúng ta lại sử dụng quy tắc giới hạn cơ bản đã nêu ở bài tập 1:
Nếu \(\lim_{n \to +\infty} b_n = +\infty\) hoặc \(\lim_{n \to +\infty} b_n = -\infty\), thì \(\lim_{n \to +\infty} \frac{c}{b_n} = 0\), với \(c\) là một hằng số.

Bước 3: Tính toán và kết luận
Áp dụng quy tắc này cho bài tập 2, với \(c=1\) và \(b_n = 2n+7\).
Vì \(\lim_{n \to +\infty} (2n+7) = +\infty\),
Nên \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2n+7} = 0\).

Vậy, giới hạn của dãy số \(v_n = \frac{1}{2n+7}\) khi \(n\) tiến ra dương vô cùng là 0.

Nhận xét chung:
Qua hai bài tập này, các em thấy rằng khi tử số là một hằng số khác 0 và mẫu số tiến ra vô cùng (dương vô cùng hoặc âm vô cùng), thì giới hạn của phân số đó luôn bằng 0. Đây là một trong những quy tắc cơ bản và quan trọng khi làm việc với giới hạn của dãy số.

Các em về nhà xem lại các quy tắc giới hạn đã học và luyện tập thêm các bài tập tương tự nhé. Nếu có gì chưa hiểu, đừng ngần ngại hỏi thầy cô. Chúc các em học tốt!