Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải quyết hai bài toán giới hạn dãy số, một chủ đề rất quan trọng trong chương trình Toán 11. Thầy sẽ trình bày thật chi tiết, từng bước một để các em nắm vững phương pháp nhé!

***

Bài tập 1: Tìm giới hạn của dãy số \(u_n = \frac{3^{n+1} + 2n}{5 + 3^n}\)

Phân tích: Đây là một giới hạn có cả số mũ và đa thức. Khi gặp dạng này, chúng ta cần để ý đến “kẻ mạnh nhất” – tức là thành phần có tốc độ tăng trưởng nhanh nhất khi \(n\) tiến ra vô cùng. Ở đây, giữa \(3^n\) và \(n\), rõ ràng \(3^n\) tăng nhanh hơn rất nhiều. Vì vậy, ý tưởng chính là chia cả tử và mẫu cho \(3^n\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Biến đổi biểu thức tử số để tách \(3^n\) ra.

\[ 3^{n+1} = 3 \cdot 3^n \]

Vậy, biểu thức ban đầu trở thành:

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{3 \cdot 3^n + 2n}{5 + 3^n} \]

Bước 2: Chia cả tử số và mẫu số cho \(3^n\). Đây là phương pháp chung khi tìm giới hạn của dãy số có chứa các số mũ, nhằm đưa về các giới hạn cơ bản đã biết.

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{3 \cdot 3^n}{3^n} + \frac{2n}{3^n}}{\frac{5}{3^n} + \frac{3^n}{3^n}} \]

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{3 + \frac{2n}{3^n}}{\frac{5}{3^n} + 1} \]

Bước 4: Tính giới hạn của từng thành phần.

• Với \(\lim_{n \to +\infty} \frac{5}{3^n}\): Theo quy tắc giới hạn cơ bản, nếu \(|q| > 1\) thì \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{q^n} = 0\). Ở đây \(q=3\), nên \(\lim_{n \to +\infty} \frac{5}{3^n} = 5 \cdot 0 = 0\).
• Với \(\lim_{n \to +\infty} \frac{2n}{3^n}\): Đây là giới hạn dạng “đa thức chia mũ”. Ta biết rằng hàm mũ tăng nhanh hơn hàm đa thức khi \(n \to +\infty\). Do đó, \(\lim_{n \to +\infty} \frac{n^k}{a^n} = 0\) với \(a > 1\) và \(k\) là số nguyên dương bất kỳ. Áp dụng công thức này, ta có \(\lim_{n \to +\infty} \frac{2n}{3^n} = 2 \cdot 0 = 0\).

Bước 5: Thay các giá trị giới hạn vào biểu thức đã rút gọn.

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{3 + \frac{2n}{3^n}}{\frac{5}{3^n} + 1} = \frac{3 + 0}{0 + 1} = \frac{3}{1} = 3 \]

Kết luận: Vậy giới hạn của dãy số là \(3\).

***

Bài tập 2: Tìm giới hạn của dãy số \(v_n = \frac{3n^2 + n}{4n^2 – 5}\)

Phân tích: Đây là một giới hạn của dãy số có dạng phân thức mà cả tử số và mẫu số đều là các đa thức của \(n\). Khi \(n\) tiến ra vô cùng, các số hạng có bậc cao nhất sẽ quyết định giá trị của giới hạn. Vì vậy, phương pháp phổ biến là chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của \(n\) có mặt trong mẫu số.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định bậc cao nhất của \(n\) trong mẫu số và tử số. Ở đây, bậc cao nhất là \(n^2\).

Bước 2: Chia cả tử số và mẫu số cho \(n^2\). Việc này giúp chúng ta đưa các số hạng về dạng \(\frac{c}{n^k}\), mà giới hạn của chúng khi \(n \to +\infty\) là 0.

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{3n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2} – \frac{5}{n^2}} \]

Bước 3: Rút gọn biểu thức.

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{4 – \frac{5}{n^2}} \]

Bước 4: Tính giới hạn của từng thành phần.

• Với \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\): Theo quy tắc giới hạn cơ bản, \(\lim_{n \to +\infty} \frac{c}{n^k} = 0\) với \(k > 0\). Ở đây \(c=1, k=1\), nên \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0\).
• Với \(\lim_{n \to +\infty} \frac{5}{n^2}\): Tương tự, \(\lim_{n \to +\infty} \frac{5}{n^2} = 5 \cdot 0 = 0\).

Bước 5: Thay các giá trị giới hạn vào biểu thức đã rút gọn.

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{4 – \frac{5}{n^2}} = \frac{3 + 0}{4 – 0} = \frac{3}{4} \]

Kết luận: Vậy giới hạn của dãy số là \(\frac{3}{4}\).

***

Các em nhớ nhé, khi làm bài giới hạn, hãy luôn tìm “kẻ mạnh nhất” trong biểu thức (bậc cao nhất của n, hoặc cơ số lớn nhất của hàm mũ) để chia cả tử và mẫu, điều này sẽ giúp bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Chúc các em học tốt!