Xin chào các em học sinh lớp 7 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về số hữu tỉ. Các em đã sẵn sàng chưa nào?

Chúng ta sẽ cùng nhau làm bài tập sau: Tìm số hữu tỉ x, sao cho tổng của số đó với nghịch đảo của nó có giá trị là một số nguyên.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một theo đúng sách giáo khoa nhé.

Bước 1: Biểu diễn bài toán dưới dạng phương trình toán học.

Đề bài cho chúng ta biết “tổng của số đó với nghịch đảo của nó”.
Số hữu tỉ mà chúng ta cần tìm là x.
Nghịch đảo của số hữu tỉ x là \(\frac{1}{x}\).
“Tổng của số đó với nghịch đảo của nó” có nghĩa là: \(x + \frac{1}{x}\).
Đề bài yêu cầu tổng này có “giá trị là một số nguyên”. Gọi số nguyên đó là k.

Vậy, chúng ta có phương trình:
\[ x + \frac{1}{x} = k \]
với \(x\) là số hữu tỉ và \(k\) là số nguyên.

Bước 2: Rút gọn phương trình và tìm điều kiện cho x.

Để làm việc với phương trình này dễ dàng hơn, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số. Lưu ý, để có nghịch đảo \(\frac{1}{x}\), thì \(x\) phải khác 0.

Nhân cả hai vế của phương trình với \(x\), ta được:
\(x \cdot (x + \frac{1}{x}) = k \cdot x\)
\(x^2 + 1 = kx\)

Bây giờ, chúng ta chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành một phương trình bậc hai (nếu coi x là biến số):
\(x^2 – kx + 1 = 0\)

Chúng ta biết \(x\) là số hữu tỉ. Một số hữu tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\), trong đó \(a, b\) là các số nguyên và \(b \neq 0\).

Bước 3: Xét các trường hợp có thể xảy ra của x.

Để phương trình \(x^2 – kx + 1 = 0\) có nghiệm hữu tỉ \(x\), chúng ta cần xem xét.
Trong chương trình lớp 7, chúng ta thường làm việc với các trường hợp cụ thể hoặc sử dụng các tính chất của số hữu tỉ.

Hãy thử xem xét một vài giá trị nguyên của \(k\).

* Trường hợp 1: \(k = 0\)
Phương trình trở thành: \(x^2 – 0x + 1 = 0\) hay \(x^2 + 1 = 0\).
Phương trình này vô nghiệm vì bình phương của một số thực (và do đó là số hữu tỉ) luôn không âm, nên \(x^2 \ge 0\). Do đó, \(x^2 + 1 \ge 1\), không thể bằng 0.
Vậy, \(k\) không thể bằng 0.

* Trường hợp 2: \(k = 1\)
Phương trình trở thành: \(x^2 – 1x + 1 = 0\) hay \(x^2 – x + 1 = 0\).
Chúng ta có thể thử tìm nghiệm bằng cách phân tích hoặc nhận thấy đây là một dạng đặc biệt. Tuy nhiên, trong phạm vi lớp 7, chúng ta có thể sử dụng cách thử các giá trị đơn giản hoặc nhận xét.
Nếu \(x = 1\), ta có \(1 + \frac{1}{1} = 2\), là một số nguyên. Vậy \(x=1\) là một nghiệm.
Nếu \(x = -1\), ta có \(-1 + \frac{1}{-1} = -1 – 1 = -2\), là một số nguyên. Vậy \(x=-1\) là một nghiệm.

* Trường hợp 3: \(k = 2\)
Phương trình trở thành: \(x^2 – 2x + 1 = 0\).
Phương trình này quen thuộc với chúng ta, đây là hằng đẳng thức: \((x – 1)^2 = 0\).
Suy ra \(x – 1 = 0\), vậy \(x = 1\).
Kiểm tra lại: \(1 + \frac{1}{1} = 2\), là số nguyên.

* Trường hợp 4: \(k = -2\)
Phương trình trở thành: \(x^2 – (-2)x + 1 = 0\) hay \(x^2 + 2x + 1 = 0\).
Đây cũng là một hằng đẳng thức: \((x + 1)^2 = 0\).
Suy ra \(x + 1 = 0\), vậy \(x = -1\).
Kiểm tra lại: \(-1 + \frac{1}{-1} = -1 – 1 = -2\), là số nguyên.

Nhìn vào các trường hợp trên, chúng ta thấy các nghiệm \(x=1\) và \(x=-1\) xuất hiện.

Bây giờ, chúng ta hãy suy nghĩ sâu hơn về phương trình \(x + \frac{1}{x} = k\).
Chúng ta cần tìm \(x\) là số hữu tỉ.

Xét trường hợp \(x\) là số nguyên. Nếu \(x\) là một số nguyên khác 0, thì \(\frac{1}{x}\) chỉ là số nguyên khi \(x = 1\) hoặc \(x = -1\).
Nếu \(x = 1\), thì \(x + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{1} = 2\), là số nguyên.
Nếu \(x = -1\), thì \(x + \frac{1}{x} = -1 + \frac{1}{-1} = -1 – 1 = -2\), là số nguyên.

Vậy, hai số hữu tỉ là số nguyên \(x=1\) và \(x=-1\) thỏa mãn yêu cầu.

Còn các số hữu tỉ không phải là số nguyên thì sao?
Giả sử \(x = \frac{a}{b}\), trong đó \(a, b\) là các số nguyên, \(b \neq 0\) và \(a \neq 0\).
Để \(x\) không phải là số nguyên, thì \(|a|\) không chia hết cho \(|b|\) hoặc \(b \neq \pm 1\).

Ta có:
\(x + \frac{1}{x} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}\)
Chúng ta cần \(\frac{a^2 + b^2}{ab} = k\), với \(k\) là số nguyên.

Điều này có nghĩa là \(a^2 + b^2\) phải chia hết cho \(ab\).
Hay \(a^2 + b^2 = k \cdot ab\).

Ta biết rằng \(a^2\) chia hết cho \(a\), và \(b^2\) chia hết cho \(b\).
Xét \(a^2 + b^2\) chia hết cho \(a\). Điều này có nghĩa là \(b^2\) phải chia hết cho \(a\).
Xét \(a^2 + b^2\) chia hết cho \(b\). Điều này có nghĩa là \(a^2\) phải chia hết cho \(b\).

Nếu \(a\) và \(b\) nguyên tố cùng nhau (tức là ước chung lớn nhất của \(a\) và \(b\) là 1, hoặc \(UCLN(a, b) = 1\)), thì:
* \(b^2\) chia hết cho \(a\) và \(UCLN(a, b) = 1\) suy ra \(b^2\) phải chia hết cho \(a\). Nếu \(a \neq \pm 1\), điều này chỉ xảy ra khi \(a\) là ước của \(b^2\).
* \(a^2\) chia hết cho \(b\) và \(UCLN(a, b) = 1\) suy ra \(a^2\) phải chia hết cho \(b\). Nếu \(b \neq \pm 1\), điều này chỉ xảy ra khi \(b\) là ước của \(a^2\).

Để \(a^2 + b^2\) chia hết cho \(ab\), ta cần \(\frac{a^2 + b^2}{ab}\) là số nguyên.
Ta có thể viết lại biểu thức này như sau:
\(\frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\)

Nếu \(x = \frac{a}{b}\) và \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\) là số nguyên, và ta xét \(a, b\) nguyên tố cùng nhau.
Thì \(a^2\) phải chia hết cho \(b\), và \(b^2\) phải chia hết cho \(a\).
Nếu \(UCLN(a, b) = 1\), thì \(a\) phải chia hết cho \(b\), và \(b\) phải chia hết cho \(a\).
Điều này chỉ xảy ra khi \(a = b\) hoặc \(a = -b\).

Nếu \(a = b\), thì \(x = \frac{a}{a} = 1\) (với \(a \neq 0\)).
Khi đó \(x + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{1} = 2\), là số nguyên.

Nếu \(a = -b\), thì \(x = \frac{-b}{b} = -1\) (với \(b \neq 0\)).
Khi đó \(x + \frac{1}{x} = -1 + \frac{1}{-1} = -1 – 1 = -2\), là số nguyên.

Chúng ta cũng có thể lập luận như sau:
Cho \(x = \frac{a}{b}\) là số hữu tỉ tối giản (nghĩa là \(UCLN(a, b) = 1\)) và \(x \neq \pm 1\).
Ta có \(x + \frac{1}{x} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}\).
Để \(\frac{a^2 + b^2}{ab}\) là số nguyên, thì \(a^2 + b^2\) phải chia hết cho \(ab\).
Do \(UCLN(a, b) = 1\), nên \(UCLN(a^2, b) = 1\) và \(UCLN(b^2, a) = 1\).
Nếu \(a^2 + b^2\) chia hết cho \(ab\), thì \(a^2 + b^2\) phải chia hết cho \(a\) và \(a^2 + b^2\) phải chia hết cho \(b\).
* \(a^2 + b^2\) chia hết cho \(a\) \(\Rightarrow\) \(b^2\) chia hết cho \(a\). Vì \(UCLN(a, b) = 1\), nên \(UCLN(a, b^2) = 1\). Vậy \(a\) phải là ước của \(1\), tức là \(a = 1\) hoặc \(a = -1\).
* \(a^2 + b^2\) chia hết cho \(b\) \(\Rightarrow\) \(a^2\) chia hết cho \(b\). Vì \(UCLN(a, b) = 1\), nên \(UCLN(a^2, b) = 1\). Vậy \(b\) phải là ước của \(1\), tức là \(b = 1\) hoặc \(b = -1\).

Kết hợp các điều kiện \(a \in \{1, -1\}\) và \(b \in \{1, -1\}\), ta có các trường hợp sau:
1. \(a=1, b=1\): \(x = \frac{1}{1} = 1\). \(x + \frac{1}{x} = 1 + 1 = 2\) (nguyên).
2. \(a=1, b=-1\): \(x = \frac{1}{-1} = -1\). \(x + \frac{1}{x} = -1 – 1 = -2\) (nguyên).
3. \(a=-1, b=1\): \(x = \frac{-1}{1} = -1\). \(x + \frac{1}{x} = -1 – 1 = -2\) (nguyên).
4. \(a=-1, b=-1\): \(x = \frac{-1}{-1} = 1\). \(x + \frac{1}{x} = 1 + 1 = 2\) (nguyên).

Vậy, trong trường hợp \(x\) là số hữu tỉ tối giản, chỉ có \(x=1\) và \(x=-1\) thỏa mãn.

Bước 4: Kết luận.

Từ các phân tích trên, chúng ta tìm được các số hữu tỉ \(x\) sao cho tổng của số đó với nghịch đảo của nó là một số nguyên.

Các giá trị của \(x\) là:
\(x = 1\)
\(x = -1\)

Chúng ta kiểm tra lại:
Nếu \(x=1\), thì \(x + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{1} = 2\). 2 là số nguyên.
Nếu \(x=-1\), thì \(x + \frac{1}{x} = -1 + \frac{1}{-1} = -1 – 1 = -2\). -2 là số nguyên.

Vậy, hai số hữu tỉ \(x\) cần tìm là 1 và -1.

Các em thấy bài toán này có thú vị không nào? Chúng ta đã cùng nhau phân tích từng bước, sử dụng các kiến thức về số hữu tỉ và tính chất chia hết.

Chúc các em học tốt!