Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau giải một bài tập về hệ phương trình đặt ẩn phụ, một dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta. Các em hãy chú ý quan sát và làm theo từng bước cô hướng dẫn nhé.

Chúng ta có hệ phương trình:

1/x + 1/y = 1/3
1/3x + 1/2y = 1/8

Trước hết, cô nhận thấy rằng các ẩn x và y đều nằm ở mẫu số. Với dạng bài này, chúng ta sẽ nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình về dạng quen thuộc hơn, đó là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện

Cô sẽ đặt:

Đặt \( a = \frac{1}{x} \) và \( b = \frac{1}{y} \)

Với điều kiện là \( x \neq 0 \) và \( y \neq 0 \). Từ đó, suy ra \( a \neq 0 \) và \( b \neq 0 \).

Bước 2: Thay ẩn phụ vào hệ phương trình ban đầu

Khi thay \( a \) và \( b \) vào hệ phương trình đã cho, ta được hệ phương trình mới theo \( a \) và \( b \):

Phương trình thứ nhất: \( a + b = \frac{1}{3} \) (1)

Phương trình thứ hai: \( \frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b = \frac{1}{8} \) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn theo \( a \) và \( b \)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình (1) và (2). Cô sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số để giải.

Để thực hiện phương pháp cộng đại số, chúng ta cần làm cho hệ số của một trong hai ẩn \( a \) hoặc \( b \) đối nhau. Cô sẽ chọn làm cho hệ số của \( b \) đối nhau.

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3:

\( 3(a + b) = 3 \times \frac{1}{3} \)

\( 3a + 3b = 1 \) (3)

Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 6 (bội chung nhỏ nhất của 3 và 2 để loại bỏ mẫu số):

\( 6(\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b) = 6 \times \frac{1}{8} \)

\( 2a + 3b = \frac{6}{8} \)

\( 2a + 3b = \frac{3}{4} \) (4)

Bây giờ, cô sẽ lấy phương trình (3) trừ đi phương trình (4) để loại bỏ ẩn \( b \):

\( (3a + 3b) – (2a + 3b) = 1 – \frac{3}{4} \)

\( 3a + 3b – 2a – 3b = \frac{4}{4} – \frac{3}{4} \)

\( a = \frac{1}{4} \)

Cô đã tìm được giá trị của \( a \). Tiếp theo, cô sẽ thay giá trị \( a = \frac{1}{4} \) vào phương trình (1) để tìm \( b \):

\( \frac{1}{4} + b = \frac{1}{3} \)

\( b = \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \)

\( b = \frac{4}{12} – \frac{3}{12} \)

\( b = \frac{1}{12} \)

Vậy là chúng ta đã tìm được \( a = \frac{1}{4} \) và \( b = \frac{1}{12} \).

Bước 4: Tìm \( x \) và \( y \) từ ẩn phụ

Nhớ lại bước đặt ẩn phụ ban đầu: \( a = \frac{1}{x} \) và \( b = \frac{1}{y} \).

Với \( a = \frac{1}{4} \), ta có:

\( \frac{1}{x} = \frac{1}{4} \)

Suy ra \( x = 4 \).

Với \( b = \frac{1}{12} \), ta có:

\( \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \)

Suy ra \( y = 12 \).

Chúng ta cần kiểm tra xem các giá trị \( x=4 \) và \( y=12 \) có thỏa mãn điều kiện ban đầu là \( x \neq 0 \) và \( y \neq 0 \) hay không. Rõ ràng là 4 và 12 đều khác 0, nên các giá trị này hợp lệ.

Bước 5: Kiểm tra lại kết quả (tùy chọn nhưng nên làm)

Để chắc chắn, chúng ta có thể thay \( x=4 \) và \( y=12 \) vào hai phương trình ban đầu:

Phương trình thứ nhất: \( \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \) (Đúng)

Phương trình thứ hai: \( \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{2 \times 12} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \) (Đúng)

Kết luận:

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (4, 12) \).

Các em thấy không, bài toán này trở nên đơn giản hơn rất nhiều khi chúng ta biết cách đặt ẩn phụ phù hợp. Cô hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững hơn phương pháp giải hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!