Kính chào các em học sinh yêu quý!
Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau “chinh phục” một bài toán về phương trình mũ rất thú vị và điển hình trong chương trình Toán 12 của chúng ta. Bài toán có dạng:
\[125^x+50^x-2^{3x+1}=0\]
Đây là một dạng toán thường gặp, đòi hỏi chúng ta phải có tư duy linh hoạt trong việc biến đổi và đặt ẩn phụ. Chúng ta hãy cùng phân tích và giải quyết bài toán này từng bước một nhé!

Bước 1: Phân tích và biến đổi các số hạng của phương trình
Chúng ta nhận thấy các cơ số 125, 50 và 2 có mối liên hệ với các số 2 và 5.
Cụ thể:

• \(125 = 5^3\)
• \(50 = 2 \times 25 = 2 \times 5^2\)
• \(2^{3x+1} = 2^{3x} \times 2^1 = (2^3)^x \times 2 = 8^x \times 2\)

Khi đó, phương trình ban đầu sẽ được viết lại thành:
\[(5^3)^x + (2 \times 5^2)^x – 2 \times 8^x = 0\]
\[5^{3x} + 2^x \times 5^{2x} – 2 \times 8^x = 0 \quad (*_1)\]

Bước 2: Tìm cách biến đổi thành phương trình đẳng cấp (hoặc dạng tương đương)
Quan sát phương trình \(( *_1 )\), chúng ta thấy rằng các số mũ của \(x\) ở các số hạng là \(3x\), \(x+2x = 3x\) và \(3x\). Đây là dấu hiệu của một phương trình có thể đưa về dạng “đẳng cấp đối với các biểu thức mũ”.
Để làm điều đó, chúng ta sẽ chia cả hai vế của phương trình cho một số hạng mũ khác 0. Ở đây, chúng ta có thể chọn chia cho \(8^x\) (tức là \(2^{3x}\)) vì điều này sẽ làm xuất hiện các cơ số mới có mối quan hệ với nhau và làm hằng số ở số hạng thứ ba.
Vì \(8^x = (2^3)^x\) luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\), nên việc chia không làm mất nghiệm và đảm bảo tính tương đương của phương trình.
Chia cả hai vế của phương trình \(( *_1 )\) cho \(8^x\):
\[\frac{5^{3x}}{8^x} + \frac{2^x \times 5^{2x}}{8^x} – \frac{2 \times 8^x}{8^x} = 0\]
\[\left(\frac{5^3}{8}\right)^x + \frac{2^x \times (5^2)^x}{(2^3)^x} – 2 = 0\]
\[\left(\frac{125}{8}\right)^x + \frac{2^x \times 25^x}{2^x \times 2^{2x}} – 2 = 0\]
(Ở đây, \( (2^3)^x = 2^{3x} = 2^x \times 2^{2x} \).)
\[\left(\frac{125}{8}\right)^x + \left(\frac{25}{4}\right)^x – 2 = 0 \quad (*_2)\]

Bước 3: Đặt ẩn phụ và giải phương trình đại số
Tiếp tục phân tích các cơ số trong phương trình \(( *_2 )\):

• \( \frac{125}{8} = \left(\frac{5}{2}\right)^3 \)
• \( \frac{25}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 \)

Vậy phương trình \(( *_2 )\) trở thành:
\[\left(\left(\frac{5}{2}\right)^3\right)^x + \left(\left(\frac{5}{2}\right)^2\right)^x – 2 = 0\]
\[\left(\frac{5}{2}\right)^{3x} + \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} – 2 = 0\]
Đây là dạng phương trình mà chúng ta có thể đặt ẩn phụ. Hãy đặt \(y = \left(\frac{5}{2}\right)^x\).
Vì \( \frac{5}{2} > 0 \), nên \( \left(\frac{5}{2}\right)^x > 0 \) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Do đó, điều kiện cho ẩn phụ là \(y > 0\).
Khi đó, phương trình trở thành phương trình bậc ba theo \(y\):
\[y^3 + y^2 – 2 = 0 \quad (*_3)\]
Để giải phương trình bậc ba này, chúng ta sẽ thử các nghiệm nguyên ước của hằng số tự do (-2).
Thử với \(y = 1\):
\(1^3 + 1^2 – 2 = 1 + 1 – 2 = 0\).
Vậy \(y = 1\) là một nghiệm của phương trình \(( *_3 )\).
Vì \(y = 1\) là nghiệm, nên \((y – 1)\) là một nhân tử của đa thức \(y^3 + y^2 – 2\). Chúng ta sẽ chia đa thức hoặc dùng lược đồ Horner để phân tích nhân tử:
\[y^3 + y^2 – 2 = (y-1)(y^2 + 2y + 2) = 0\]
(Nếu các em chưa quen với phép chia đa thức, có thể dùng phương pháp thêm bớt để nhóm nhân tử:
\(y^3 + y^2 – 2 = y^3 – y^2 + 2y^2 – 2 = y^2(y-1) + 2(y^2-1) = y^2(y-1) + 2(y-1)(y+1) = (y-1)[y^2 + 2(y+1)] = (y-1)(y^2 + 2y + 2)\).)
Từ phương trình \((y-1)(y^2 + 2y + 2) = 0\), chúng ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(y – 1 = 0 \Rightarrow y = 1\).
Giá trị \(y=1\) thỏa mãn điều kiện \(y > 0\).

Trường hợp 2: \(y^2 + 2y + 2 = 0\).
Tính biệt thức Delta của phương trình bậc hai này:
\( \Delta = b^2 – 4ac = 2^2 – 4(1)(2) = 4 – 8 = -4 \).
Vì \( \Delta < 0 \), phương trình bậc hai này không có nghiệm thực. Do đó, trường hợp này không cho nghiệm \(y\) nào thỏa mãn. Vậy, nghiệm duy nhất của phương trình theo ẩn \(y\) là \(y = 1\). Bước 4: Trở về ẩn x để tìm nghiệm cuối cùng
Với \(y = 1\), chúng ta thay trở lại biểu thức đặt ẩn phụ:
\(y = \left(\frac{5}{2}\right)^x \Rightarrow \left(\frac{5}{2}\right)^x = 1\)
Chúng ta biết rằng bất kỳ số nào (khác 0) lũy thừa 0 đều bằng 1. Do đó:
\( \left(\frac{5}{2}\right)^x = \left(\frac{5}{2}\right)^0 \)
Từ đó, chúng ta suy ra:
\(x = 0\)

Bước 5: Kiểm tra lại nghiệm
Chúng ta hãy thay \(x = 0\) vào phương trình ban đầu để kiểm tra:
\(125^0 + 50^0 – 2^{3(0)+1} = 0\)
\(1 + 1 – 2^1 = 0\)
\(1 + 1 – 2 = 0\)
\(2 – 2 = 0\)
\(0 = 0\). (Đúng!)

Vậy, nghiệm \(x = 0\) là chính xác.

Kết luận:
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x = 0\).

Các em thấy đó, một bài toán nhìn có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách phân tích, biến đổi khéo léo và áp dụng đúng phương pháp đặt ẩn phụ, thì bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các dạng bài này nhé!
Chúc các em học tốt và luôn giữ vững niềm đam mê với Toán học!