1+2sinxcosx=sinx+2cosx
Bài tập của chúng ta hôm nay là:
1 + 2sinxcosx = sinx + 2cosx
Đây là một dạng phương trình lượng giác, để giải nó, chúng ta cần vận dụng các kiến thức về công thức lượng giác và phương pháp giải phương trình. Chúng ta sẽ đi từng bước một để đảm bảo các em hiểu rõ bài toán.
Bước 1: Chuyển vế và nhóm các hạng tử.
Đầu tiên, chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử về một vế để phương trình bằng 0.
1 + 2sinxcosx – sinx – 2cosx = 0
Bây giờ, chúng ta sẽ sắp xếp lại các hạng tử để tiện cho việc nhóm.
(1 – sinx) + (2sinxcosx – 2cosx) = 0
Tiếp theo, chúng ta sẽ đặt nhân tử chung cho nhóm hạng tử thứ hai.
(1 – sinx) + 2cosx(sinx – 1) = 0
Bước 2: Biến đổi để xuất hiện nhân tử chung.
Các em thấy ở hai nhóm hạng tử, chúng ta có hai biểu thức gần giống nhau là (1 – sinx) và (sinx – 1). Chúng ta có thể biến đổi một trong hai biểu thức này để chúng giống nhau. Cách đơn giản là đổi dấu của biểu thức thứ hai.
(1 – sinx) – 2cosx(1 – sinx) = 0
Bây giờ, chúng ta đã thấy rõ nhân tử chung là (1 – sinx).
Bước 3: Đặt nhân tử chung và giải phương trình tích.
Chúng ta sẽ đặt nhân tử chung (1 – sinx) ra ngoài.
(1 – sinx)(1 – 2cosx) = 0
Đây là một phương trình tích, nghĩa là một tích bằng 0 khi ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Vì vậy, chúng ta sẽ có hai trường hợp:
Trường hợp 1: 1 – sinx = 0
Trường hợp 2: 1 – 2cosx = 0
Bước 4: Giải từng phương trình cơ bản.
Xét Trường hợp 1: 1 – sinx = 0
sinx = 1
Chúng ta biết rằng sinx = 1 khi x có dạng:
sinx = sin(\(\frac{\pi}{2}\))
Vậy, x = \(\frac{\pi}{2}\) + k2\(\pi\), với k là số nguyên (k \(\in\) Z).
Xét Trường hợp 2: 1 – 2cosx = 0
2cosx = 1
cosx = \(\frac{1}{2}\)
Chúng ta biết rằng cosx = \(\frac{1}{2}\) khi x có hai dạng:
cosx = cos(\(\frac{\pi}{3}\))
Vậy, x = \(\frac{\pi}{3}\) + k2\(\pi\) hoặc x = -\(\frac{\pi}{3}\) + k2\(\pi\), với k là số nguyên (k \(\in\) Z).
Bước 5: Kết luận tập nghiệm của phương trình.
Tập nghiệm của phương trình là hợp của tất cả các nghiệm tìm được từ hai trường hợp trên.
Vậy, tập nghiệm của phương trình là:
S = {x | x = \(\frac{\pi}{2}\) + k2\(\pi\), k \(\in\) Z} \(\cup\) {x | x = \(\frac{\pi}{3}\) + k2\(\pi\), k \(\in\) Z} \(\cup\) {x | x = -\(\frac{\pi}{3}\) + k2\(\pi\), k \(\in\) Z}.
Thầy/cô hy vọng rằng với cách trình bày chi tiết từng bước như vậy, các em đã nắm vững cách giải bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé. Chúng ta sẽ cùng nhau luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức.
\(\begin{array}{l} 1 + 2\sin x\cos x = \sin x + 2\cos x\\ \Leftrightarrow 1 – \sin x + 2\sin x\cos x – 2\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 – \sin x} \right) + 2\cos x\left( {\sin x – 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x – 1} \right)\left( {2\cos x – 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 1\\ \cos x = \dfrac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\ x = – \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \end{array}\)
\(1+2sinxcosx=sinx+2cosx\)
\(⇔1-sinx+2sinxcosx-2cosx=0\)
\(⇔(1-sinx)+2cosx(sinx-1)=0\)
\(⇔(1-sinx)-2cosx(1-sinx)=0\)
\(⇔(1-sinx)(1-2cosx)=0\)
\(⇔\)\(\left[ \begin{array}{l}sinx=1\\cosx=\dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
\(⇔\)\(\left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=±\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{array} \right.\) \((k∈Z)\)