2 mũ 2023 – 2 mũ 2022 – 2 mũ 2021-…- 2 mũ 1 – 1
Bài toán của chúng ta là tính giá trị của biểu thức:
2 mũ 2023 – 2 mũ 2022 – 2 mũ 2021 – … – 2 mũ 1 – 1
Trước tiên, các em hãy nhìn kỹ vào biểu thức. Chúng ta thấy có rất nhiều số hạng là lũy thừa của 2, và chúng đang được trừ đi nhau.
Bước 1: Nhóm các số hạng có lũy thừa của 2 lại với nhau.
Chúng ta có thể viết lại biểu thức như sau:
(2 mũ 2023 – 2 mũ 2022 – 2 mũ 2021 – … – 2 mũ 1) – 1
Bước 2: Tìm cách rút gọn phần trong ngoặc.
Các em hãy thử quan sát các số hạng trong ngoặc: 2 mũ 2023, 2 mũ 2022, 2 mũ 2021, …, 2 mũ 1.
Số mũ lớn nhất là 2023. Chúng ta có thể tách 2 mũ 2023 thành 2 mũ 2022 nhân với 2.
2 mũ 2023 = 2 mũ 2022 * 2
Bây giờ, chúng ta viết lại phần trong ngoặc với sự thay đổi này:
(2 mũ 2022 * 2 – 2 mũ 2022 – 2 mũ 2021 – … – 2 mũ 1)
Tiếp theo, chúng ta có thể đặt 2 mũ 2022 làm nhân tử chung cho hai số hạng đầu tiên:
(2 mũ 2022 * (2 – 1) – 2 mũ 2021 – … – 2 mũ 1)
(2 mũ 2022 * 1 – 2 mũ 2021 – … – 2 mũ 1)
(2 mũ 2022 – 2 mũ 2021 – … – 2 mũ 1)
À, các em thấy chưa? Sau khi rút gọn, chúng ta lại có một biểu thức tương tự, nhưng số mũ lớn nhất đã giảm đi 1 (từ 2023 xuống 2022).
Chúng ta có thể tiếp tục áp dụng cách này. Hãy thử với 2 mũ 2022:
2 mũ 2022 = 2 mũ 2021 * 2
Vậy, biểu thức trong ngoặc bây giờ sẽ là:
(2 mũ 2021 * 2 – 2 mũ 2021 – 2 mũ 2020 – … – 2 mũ 1)
Đặt 2 mũ 2021 làm nhân tử chung:
(2 mũ 2021 * (2 – 1) – 2 mũ 2020 – … – 2 mũ 1)
(2 mũ 2021 – 2 mũ 2020 – … – 2 mũ 1)
Các em có nhận ra quy luật không? Cứ mỗi lần áp dụng như vậy, chúng ta sẽ thu được một biểu thức có số mũ giảm đi 1, và cuối cùng chúng ta sẽ còn lại 2 mũ 1.
Hãy viết lại toàn bộ quá trình rút gọn trong ngoặc một cách cẩn thận hơn:
Ta xét biểu thức trong ngoặc: S = 2 mũ 2023 – 2 mũ 2022 – 2 mũ 2021 – … – 2 mũ 1
Nhận xét: Các số hạng từ 2 mũ 2022 trở đi đều là lũy thừa của 2 có số mũ bé hơn số mũ lớn nhất là 2023.
Ta có thể biến đổi như sau:
2 mũ 2023 = 2 * 2 mũ 2022
Thay vào biểu thức S:
S = (2 * 2 mũ 2022) – 2 mũ 2022 – 2 mũ 2021 – … – 2 mũ 1
Đặt 2 mũ 2022 làm nhân tử chung cho hai số hạng đầu tiên:
S = 2 mũ 2022 * (2 – 1) – 2 mũ 2021 – … – 2 mũ 1
S = 2 mũ 2022 * 1 – 2 mũ 2021 – … – 2 mũ 1
S = 2 mũ 2022 – 2 mũ 2021 – … – 2 mũ 1
Bây giờ, ta lại biến đổi số hạng 2 mũ 2022:
2 mũ 2022 = 2 * 2 mũ 2021
Thay vào biểu thức S hiện tại:
S = (2 * 2 mũ 2021) – 2 mũ 2021 – 2 mũ 2020 – … – 2 mũ 1
Đặt 2 mũ 2021 làm nhân tử chung cho hai số hạng đầu tiên:
S = 2 mũ 2021 * (2 – 1) – 2 mũ 2020 – … – 2 mũ 1
S = 2 mũ 2021 * 1 – 2 mũ 2020 – … – 2 mũ 1
S = 2 mũ 2021 – 2 mũ 2020 – … – 2 mũ 1
Chúng ta cứ tiếp tục quá trình này cho đến khi số mũ là 1.
S = 2 mũ 2020 – 2 mũ 2019 – … – 2 mũ 1
…
Sau nhiều bước, chúng ta sẽ còn lại:
S = 2 mũ 2 – 2 mũ 1
S = (2 * 2 mũ 1) – 2 mũ 1
S = 2 mũ 1 * (2 – 1)
S = 2 mũ 1 * 1
S = 2 mũ 1
Vậy, giá trị của phần trong ngoặc là 2 mũ 1, tức là 2.
Bước 3: Thay giá trị của phần trong ngoặc vào biểu thức ban đầu.
Biểu thức ban đầu là: (2 mũ 2023 – 2 mũ 2022 – 2 mũ 2021 – … – 2 mũ 1) – 1
Chúng ta vừa tính được giá trị của phần trong ngoặc là 2.
Vậy, biểu thức trở thành: 2 – 1
Bước 4: Tính kết quả cuối cùng.
2 – 1 = 1
Vậy, giá trị của biểu thức 2 mũ 2023 – 2 mũ 2022 – 2 mũ 2021 – … – 2 mũ 1 – 1 là 1.
Để hiểu rõ hơn, các em có thể thử với một ví dụ nhỏ hơn, ví dụ như:
2 mũ 3 – 2 mũ 2 – 2 mũ 1 – 1
= 8 – 4 – 2 – 1
= 4 – 2 – 1
= 2 – 1
= 1
Hoặc:
2 mũ 4 – 2 mũ 3 – 2 mũ 2 – 2 mũ 1 – 1
= 16 – 8 – 4 – 2 – 1
= 8 – 4 – 2 – 1
= 4 – 2 – 1
= 2 – 1
= 1
Các em thấy không, quy luật này rất hiệu quả!
Một cách khác để nhìn nhận phần trong ngoặc:
Xét A = 2 mũ 2022 + 2 mũ 2021 + … + 2 mũ 1. Đây là tổng của cấp số nhân lùi.
Tuy nhiên, đề bài của chúng ta có dấu trừ.
Hãy xét lại phép biến đổi:
2 mũ 2023 – 2 mũ 2022 – 2 mũ 2021 – … – 2 mũ 1
= 2 mũ 2023 – (2 mũ 2022 + 2 mũ 2021 + … + 2 mũ 1)
Để tính tổng S = 2 mũ 2022 + 2 mũ 2021 + … + 2 mũ 1.
Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu là a = 2 mũ 1, công bội là q = 2, và có n = 2022 số hạng.
Công thức tính tổng cấp số nhân là: \( S_n = \frac{a(q^n – 1)}{q – 1} \)
Áp dụng vào đây:
\( S = \frac{2^1 (2^{2022} – 1)}{2 – 1} \)
\( S = \frac{2 (2^{2022} – 1)}{1} \)
\( S = 2 \cdot 2^{2022} – 2 \cdot 1 \)
\( S = 2^{2023} – 2 \)
Vậy, biểu thức ban đầu trở thành:
2 mũ 2023 – S – 1
= 2 mũ 2023 – (2 mũ 2023 – 2) – 1
= 2 mũ 2023 – 2 mũ 2023 + 2 – 1
= (2 mũ 2023 – 2 mũ 2023) + (2 – 1)
= 0 + 1
= 1
Cả hai cách đều cho chúng ta kết quả là 1. Tuy nhiên, cách biến đổi trực tiếp từng bước mà cô trình bày ở đầu bài phù hợp với kiến thức lớp 6 hơn, không sử dụng công thức cấp số nhân.
Các em nhớ rằng, khi gặp các bài toán về lũy thừa, việc rút nhân tử chung và biến đổi khéo léo sẽ giúp chúng ta giải bài toán một cách dễ dàng.
Kết luận: Giá trị của biểu thức là 1.
Cô hy vọng các em đã hiểu bài và có thể tự tin giải quyết những bài toán tương tự.
Hẹn gặp lại các em trong bài học tiếp theo!
Đáp án: \({2^{2023}} – {2^{2022}} – {2^{2021}} – … – {2^1} – 1 = 1\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
A = {2^{2023}} – {2^{2022}} – {2^{2021}} – … – {2^1} – 1\\
= {2^{2023}} – \left( {{2^{2022}} + {2^{2021}} + … + {2^1} + 1} \right)\\
= {2^{2023}} – B\\
Dat:B = {2^{2022}} + {2^{2021}} + … + {2^1} + 1\\
\Leftrightarrow 2.B = {2^{2023}} + {2^{2022}} + … + {2^2} + 2\\
\Leftrightarrow 2B – B\\
= {2^{2023}} + {2^{2022}} + … + {2^2} + 2\\
– \left( {{2^{2022}} + {2^{2021}} + … + {2^1} + 1} \right)\\
\Leftrightarrow B = {2^{2023}} + {2^{2022}} + … + {2^2} + 2\\
– {2^{2022}} – {2^{2021}} – … – {2^1} – 1\\
\Leftrightarrow B = {2^{2023}} – 1\\
\Leftrightarrow A = {2^{2023}} – B\\
= {2^{2023}} – \left( {{2^{2023}} – 1} \right)\\
= {2^{2023}} – {2^{2023}} + 1\\
= 1\\
Vậy\,{2^{2023}} – {2^{2022}} – {2^{2021}} – … – {2^1} – 1 = 1
\end{array}\)