Cô rất vui khi nhận được câu hỏi của em. Đây là một dạng bài so sánh lũy thừa rất hay trong chương trình Toán lớp 6. Để giải bài này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về phân tích một số ra thừa số nguyên tố và các quy tắc tính với lũy thừa. Cô sẽ trình bày thật chi tiết để em dễ hiểu nhé.

Mục tiêu của chúng ta là so sánh hai số \(21^{15}\) và \(27^5 \cdot 49^8\). Cách làm chung là đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc có các thành phần cơ số giống nhau để so sánh.

Bước 1: Phân tích và biến đổi biểu thức thứ nhất \(21^{15}\)
Ta nhận thấy cơ số 21 không phải là số nguyên tố. Ta có thể phân tích nó ra thừa số nguyên tố:
\(21 = 3 \cdot 7\)

Bây giờ, ta thay vào lũy thừa ban đầu. Áp dụng công thức lũy thừa của một tích: \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\), ta có:
\[21^{15} = (3 \cdot 7)^{15} = 3^{15} \cdot 7^{15}\]
Vậy là ta đã biến đổi xong biểu thức thứ nhất.

Bước 2: Phân tích và biến đổi biểu thức thứ hai \(27^5 \cdot 49^8\)
Tương tự, ta phân tích các cơ số 27 và 49 ra thừa số nguyên tố:
\(27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3\)
\(49 = 7 \cdot 7 = 7^2\)

Tiếp theo, ta thay các kết quả này vào biểu thức thứ hai:
\[27^5 \cdot 49^8 = (3^3)^5 \cdot (7^2)^8\]
Đến đây, ta áp dụng công thức lũy thừa của lũy thừa: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Ta tính riêng từng phần:
\[(3^3)^5 = 3^{3 \cdot 5} = 3^{15}\]
\[(7^2)^8 = 7^{2 \cdot 8} = 7^{16}\]
Ghép hai kết quả lại, ta được biểu thức thứ hai sau khi biến đổi là:
\[27^5 \cdot 49^8 = 3^{15} \cdot 7^{16}\]

Bước 3: So sánh hai kết quả đã biến đổi
Bây giờ, bài toán trở thành so sánh hai biểu thức:
Biểu thức thứ nhất: \(3^{15} \cdot 7^{15}\)
Biểu thức thứ hai: \(3^{15} \cdot 7^{16}\)

Ta thấy cả hai biểu thức đều có chung thừa số là \(3^{15}\). Vì vậy, để so sánh hai tích này, ta chỉ cần so sánh hai thừa số còn lại là \(7^{15}\) và \(7^{16}\).

Để so sánh hai lũy thừa có cùng cơ số (cơ số 7), ta so sánh số mũ của chúng. Vì \(15 < 16\) nên ta có: \[7^{15} < 7^{16}\] Vì \(7^{15} < 7^{16}\) nên khi nhân cả hai vế với cùng một số dương là \(3^{15}\), ta được: \[3^{15} \cdot 7^{15} < 3^{15} \cdot 7^{16}\] Bước 4: Kết luận
Từ các bước phân tích ở trên, ta đã chỉ ra được \(3^{15} \cdot 7^{15} < 3^{15} \cdot 7^{16}\).
Điều này có nghĩa là:
\[21^{15} < 27^5 \cdot 49^8\] Vậy là chúng ta đã giải xong bài toán. Chìa khóa của bài này là đưa các cơ số về dạng tích của các số nguyên tố rồi áp dụng các quy tắc của lũy thừa. Chúc em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé