Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán lượng giác quen thuộc trong chương trình Toán lớp 11. Bài toán này không quá khó, nhưng đòi hỏi sự tỉ mỉ và nắm vững các kiến thức cơ bản. Chúng ta sẽ cùng nhau giải bài toán sau đây một cách chi tiết, từng bước nhé!

Bài toán yêu cầu giải phương trình: 2cos^2x – cosx = 0

Phân tích bài toán:

Nhìn vào phương trình, ta thấy đây là một phương trình lượng giác. Điểm đặc biệt là nó chỉ chứa duy nhất một hàm số lượng giác là cosx. Điều này gợi ý cho chúng ta một cách giải rất hiệu quả, đó là đặt ẩn phụ hoặc nhóm nhân tử chung.

Trong trường hợp này, chúng ta thấy cosx xuất hiện ở cả hai số hạng. Do đó, phương pháp nhóm nhân tử chung là cách tiếp cận nhanh chóng và hiệu quả nhất.

Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Nhóm nhân tử chung

Quan sát phương trình 2cos^2x – cosx = 0, ta thấy cosx là nhân tử chung của cả hai số hạng.
Ta có thể viết lại phương trình như sau:
cosx(2cosx – 1) = 0

Bước 2: Áp dụng tính chất của tích bằng không

Khi tích của hai thừa số bằng 0, thì ít nhất một trong hai thừa số đó phải bằng 0.
Vì vậy, ta có hai trường hợp có thể xảy ra:

Trường hợp 1: cosx = 0

Trường hợp 2: 2cosx – 1 = 0

Bước 3: Giải từng trường hợp

Trường hợp 1: cosx = 0

Đây là một trường hợp cơ bản của phương trình lượng giác cơ bản. Chúng ta cần nhớ lại các giá trị của x mà tại đó cosx bằng 0. Trên đường tròn lượng giác, cosx là hoành độ của điểm biểu diễn. Hoành độ bằng 0 tại hai điểm tương ứng với các góc \(\frac{\pi}{2}\) và \(\frac{3\pi}{2}\), hoặc nói chung là các góc có dạng \(\frac{\pi}{2} + k\pi\), với k là số nguyên bất kỳ.

Vậy, nghiệm của trường hợp này là:
x = \(\frac{\pi}{2} + k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\)

Trường hợp 2: 2cosx – 1 = 0

Chúng ta cần giải phương trình này để tìm giá trị của cosx.
Chuyển 1 sang vế phải:
2cosx = 1

Chia cả hai vế cho 2:
cosx = \(\frac{1}{2}\)

Đây cũng là một phương trình lượng giác cơ bản. Chúng ta cần tìm các giá trị của x mà tại đó cosx bằng \(\frac{1}{2}\). Trên đường tròn lượng giác, cosx = \(\frac{1}{2}\) tại hai góc cơ bản trong khoảng [0, 2\(\pi\)], đó là \(\frac{\pi}{3}\) và \(-\frac{\pi}{3}\) (hoặc \(\frac{5\pi}{3}\)). Nói chung, các nghiệm sẽ có dạng \(\pm \frac{\pi}{3} + n\pi\), với n là số nguyên bất kỳ. Tuy nhiên, để dễ nhớ và bao quát hết các trường hợp, chúng ta thường viết là:
x = \(\frac{\pi}{3} + n\pi\) hoặc x = \(-\frac{\pi}{3} + n\pi\), với \(n \in \mathbb{Z}\)

Một cách viết khác bao quát hơn là:
x = \(\pm \frac{\pi}{3} + n\pi\), với \(n \in \mathbb{Z}\)

Tuy nhiên, cách viết đầy đủ và bao quát nhất cho tất cả các nghiệm của cosx = a là:
x = \(\arccos(a) + m2\pi\) và x = \(-\arccos(a) + m2\pi\), với \(m \in \mathbb{Z}\)
Hoặc kết hợp lại là:
x = \(\pm \arccos(a) + m2\pi\), với \(m \in \mathbb{Z}\)

Áp dụng vào trường hợp này, với \(a = \frac{1}{2}\), ta có \(\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}\).
Vậy, nghiệm của trường hợp này là:
x = \(\frac{\pi}{3} + m2\pi\) hoặc x = \(-\frac{\pi}{3} + m2\pi\), với \(m \in \mathbb{Z}\)

Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình

Tập nghiệm của phương trình ban đầu là hợp của tập nghiệm của hai trường hợp trên.
Nghiệm của phương trình là:
x = \(\frac{\pi}{2} + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)
VÀ
x = \(\frac{\pi}{3} + m2\pi\), \(m \in \mathbb{Z}\)
VÀ
x = \(-\frac{\pi}{3} + m2\pi\), \(m \in \mathbb{Z}\)

Tóm lại, tập nghiệm của phương trình là:

S = { \(\frac{\pi}{2} + k\pi\) | \(k \in \mathbb{Z}\) } \(\cup\) { \(\frac{\pi}{3} + m2\pi\) | \(m \in \mathbb{Z}\) } \(\cup\) { \(-\frac{\pi}{3} + m2\pi\) | \(m \in \mathbb{Z}\) }

Lưu ý:

– Trong các bài toán lượng giác, việc nhớ các giá trị đặc biệt của sin, cos, tan tại các góc cơ bản là rất quan trọng.
– Luôn nhớ thêm hằng số \(k\pi\) hoặc \(k2\pi\) (tùy thuộc vào hàm lượng giác và phương trình) để biểu diễn đầy đủ tất cả các nghiệm.
– Cách trình bày trên là chi tiết và đầy đủ theo đúng yêu cầu của chương trình lớp 11.

Chúc các em ôn tập tốt và đạt kết quả cao trong học tập! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!