Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về phương trình lượng giác. Bài tập này quen thuộc và nằm trong chương trình chúng ta đã học. Các em hãy chú ý theo dõi nhé.

Đề bài yêu cầu giải phương trình: 2sin^2x + 5sinx – 3 = 0

Đây là một dạng phương trình bậc hai theo sinx. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Ta nhận thấy trong phương trình có sin^2x và sinx. Chúng ta sẽ đặt:
Đặt t = sinx.

Với việc đặt t = sinx, chúng ta cần lưu ý đến điều kiện của t. Vì giá trị của sinx luôn nằm trong khoảng từ -1 đến 1, nên ta có điều kiện:
-1 <= t <= 1. Bước 2: Thay ẩn phụ vào phương trình ban đầu

Sau khi đặt t = sinx, phương trình ban đầu của chúng ta sẽ trở thành một phương trình bậc hai theo biến t:
2t^2 + 5t – 3 = 0.

Bước 3: Giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ t

Đây là một phương trình bậc hai dạng at^2 + bt + c = 0, với a = 2, b = 5, và c = -3.
Chúng ta sẽ tính biệt thức delta (Δ) để tìm nghiệm của phương trình này.
Công thức tính biệt thức delta là: Δ = b^2 – 4ac.

Thay số vào công thức:
Δ = 5^2 – 4 2 (-3)
Δ = 25 – (-24)
Δ = 25 + 24
Δ = 49.

Vì Δ > 0, phương trình bậc hai theo t có hai nghiệm phân biệt.
Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai là:
t = [-b ± sqrt(Δ)] / (2a).

Tính nghiệm thứ nhất (t1):
t1 = [-5 + sqrt(49)] / (2 * 2)
t1 = [-5 + 7] / 4
t1 = 2 / 4
t1 = 1/2.

Tính nghiệm thứ hai (t2):
t2 = [-5 – sqrt(49)] / (2 * 2)
t2 = [-5 – 7] / 4
t2 = -12 / 4
t2 = -3.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện của ẩn phụ t

Chúng ta có hai nghiệm của phương trình bậc hai theo t là t1 = 1/2 và t2 = -3.
Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem các nghiệm này có thỏa mãn điều kiện -1 <= t <= 1 hay không. Đối với t1 = 1/2: Ta thấy -1 <= 1/2 <= 1. Vậy nghiệm t1 = 1/2 thỏa mãn điều kiện. Đối với t2 = -3: Ta thấy -3 < -1. Vậy nghiệm t2 = -3 không thỏa mãn điều kiện. Do đó, chúng ta chỉ giữ lại nghiệm t = 1/2. Bước 5: Tìm nghiệm của phương trình ban đầu theo biến x

Chúng ta đã đặt t = sinx, và bây giờ chúng ta có t = 1/2.
Vậy, ta cần giải phương trình:
sinx = 1/2.

Đây là một phương trình lượng giác cơ bản. Chúng ta cần tìm các giá trị của x sao cho sinx bằng 1/2.
Chúng ta biết rằng sin(π/6) = 1/2.
Do tính chất tuần hoàn của hàm sin, nghiệm của phương trình sinx = sin(α) là:
x = α + k2π
hoặc
x = π – α + k2π
với k là số nguyên (k ∈ ℤ).

Trong trường hợp này, α = π/6.
Vậy, ta có hai nhóm nghiệm:

Nhóm nghiệm thứ nhất:
x = π/6 + k2π, với k ∈ ℤ.

Nhóm nghiệm thứ hai:
x = π – π/6 + k2π
x = 5π/6 + k2π, với k ∈ ℤ.

Kết luận

Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là:
x = π/6 + k2π
và
x = 5π/6 + k2π, với k là số nguyên.

Các em đã hiểu rõ từng bước giải chưa nào? Nếu có chỗ nào chưa rõ, cứ mạnh dạn hỏi lại nhé.