Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài tập này một cách chi tiết theo đúng kiến thức chúng ta đã học trên lớp. Đây là một dạng phương trình lượng giác khá quen thuộc, chúng ta sẽ đưa nó về dạng phương trình tích bằng cách sử dụng công thức và nhóm hạng tử.

Bước 1: Biến đổi phương trình bằng công thức góc nhân đôi

Đầu tiên, các em hãy quan sát phương trình. Chúng ta thấy có cả sinx, cosx và sin2x. Để giải được, chúng ta cần đưa chúng về các cung giống nhau. Ta sẽ sử dụng công thức góc nhân đôi cho sin2x:
\[\sin(2x) = 2\sin x \cos x\]
Thay công thức này vào phương trình ban đầu, ta được:
\(2\sin x + \cos x – (2\sin x \cos x) – 1 = 0\)

Bước 2: Nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

Bây giờ, chúng ta sẽ sắp xếp và nhóm các hạng tử lại với nhau một cách hợp lý để có thể phân tích thành nhân tử.
Ta nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử cuối cùng, và hạng tử thứ hai với hạng tử thứ ba:
\((2\sin x – 1) + (\cos x – 2\sin x \cos x) = 0\)

Ở nhóm thứ hai, ta thấy có nhân tử chung là \(\cos x\). Ta đặt \(\cos x\) ra ngoài:
\((2\sin x – 1) + \cos x(1 – 2\sin x) = 0\)

Để xuất hiện nhân tử chung là \((2\sin x – 1)\), ta đổi dấu trong ngoặc thứ hai:
\((2\sin x – 1) – \cos x(2\sin x – 1) = 0\)

Lúc này, phương trình đã có nhân tử chung là \((2\sin x – 1)\). Ta đặt nhân tử chung ra ngoài:
\((2\sin x – 1)(1 – \cos x) = 0\)

Bước 3: Giải phương trình tích

Đây là một phương trình tích. Một tích bằng 0 khi và chỉ khi một trong các thừa số của nó bằng 0. Do đó, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(2\sin x – 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}\)
Chúng ta đã biết \(\frac{1}{2}\) là giá trị sin của góc \(\frac{\pi}{6}\). Vậy ta có:
\(\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\)
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình \(\sin u = \sin v\), ta có hai họ nghiệm:
\[\begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \pi – \frac{\pi}{6} + k2\pi \end{cases}\]
\[\Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})\]

Trường hợp 2: \(1 – \cos x = 0\)
\(\Leftrightarrow \cos x = 1\)
Đây là một trường hợp đặc biệt của phương trình lượng giác cơ bản. Ta có nghiệm là:
\[x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]

Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình

Tổng hợp các nghiệm từ hai trường hợp trên, ta có các họ nghiệm của phương trình đã cho là:
\[x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]
\[x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]
\[x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]

Vậy là chúng ta đã giải xong bài toán. Các em hãy xem lại từng bước để nắm vững phương pháp giải nhé. Chúc các em học tốt