3/3+ căn 6 – căn 10-4 căn 6 + căn 24
Các em nhớ lại kiến thức đã học về căn bậc hai nhé. Chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc biến đổi căn thức, đặc biệt là đưa thừa số ra ngoài dấu căn và quy đồng mẫu số nếu cần.
Bây giờ, chúng ta cùng nhau đi vào từng bước giải chi tiết:
Bước 1: Phân tích và đơn giản hóa các căn thức riêng lẻ.
Chúng ta sẽ xem xét từng căn thức trong biểu thức:
* căn 6: Biểu thức này đã ở dạng tối giản.
* căn 10: Biểu thức này cũng đã ở dạng tối giản.
* 4 căn 6: Biểu thức này đã ở dạng đơn giản.
* căn 24: Chúng ta sẽ phân tích số 24 ra thừa số nguyên tố để xem có thể đưa thừa số ra ngoài dấu căn hay không.
Ta có: \( 24 = 4 \times 6 = 2^2 \times 6 \)
Áp dụng quy tắc \( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) và \( \sqrt{a^2} = |a| \) (vì 2 > 0 nên \( |2| = 2 \)), ta có:
\( \sqrt{24} = \sqrt{2^2 \times 6} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{6} = 2\sqrt{6} \)
Bây giờ, biểu thức ban đầu của chúng ta sẽ được viết lại với các căn thức đã được đơn giản hóa. Tuy nhiên, trước khi thay thế, chúng ta cần xem xét kỹ lại biểu thức gốc. Có vẻ như có một chút nhầm lẫn trong cách gõ đề bài, cụ thể là phần “3/3+ căn 6”. Trong toán học, 3/3+ căn 6 có thể được hiểu là \( \frac{3}{3} + \sqrt{6} \) hoặc 3 chia (3 + căn 6).
Để bài toán có ý nghĩa và có thể giải theo hướng rút gọn biểu thức chứa căn thức, cô giả định rằng đề bài có ý muốn nói đến phần tử “3” ở mẫu số của phân thức đầu tiên. Cô sẽ xem xét hai trường hợp có thể xảy ra để chúng ta cùng phân tích.
Trường hợp 1: Biểu thức là \( \frac{3}{3+\sqrt{6}} – \sqrt{10} – 4\sqrt{6} + \sqrt{24} \)
Trong trường hợp này, chúng ta sẽ xử lý phân thức trước. Để khử mẫu số chứa căn thức, chúng ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.
Mẫu số là \( 3+\sqrt{6} \). Biểu thức liên hợp là \( 3-\sqrt{6} \).
\( \frac{3}{3+\sqrt{6}} = \frac{3 \times (3-\sqrt{6})}{(3+\sqrt{6})(3-\sqrt{6})} \)
Áp dụng hằng đẳng thức \( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \) cho mẫu số:
\( (3+\sqrt{6})(3-\sqrt{6}) = 3^2 – (\sqrt{6})^2 = 9 – 6 = 3 \)
Vậy, phân thức trở thành:
\( \frac{3 \times (3-\sqrt{6})}{3} = 3 – \sqrt{6} \)
Bây giờ, thay thế vào biểu thức ban đầu (với giả định này):
\( (3 – \sqrt{6}) – \sqrt{10} – 4\sqrt{6} + 2\sqrt{6} \)
Bước 2: Gom các số hạng đồng dạng (các số hạng chứa cùng loại căn thức).
Trong biểu thức \( 3 – \sqrt{6} – \sqrt{10} – 4\sqrt{6} + 2\sqrt{6} \), chúng ta có các số hạng là hằng số, số hạng chứa \( \sqrt{6} \) và số hạng chứa \( \sqrt{10} \).
* Hằng số: 3
* Các số hạng chứa \( \sqrt{6} \): \( -\sqrt{6} – 4\sqrt{6} + 2\sqrt{6} \)
* Số hạng chứa \( \sqrt{10} \): \( -\sqrt{10} \)
Gom các số hạng chứa \( \sqrt{6} \):
\( -\sqrt{6} – 4\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = (-1 – 4 + 2)\sqrt{6} = (-5 + 2)\sqrt{6} = -3\sqrt{6} \)
Bước 3: Viết lại biểu thức đã rút gọn.
Kết hợp tất cả các số hạng lại, ta được:
\( 3 – 3\sqrt{6} – \sqrt{10} \)
Vậy, nếu biểu thức ban đầu là \( \frac{3}{3+\sqrt{6}} – \sqrt{10} – 4\sqrt{6} + \sqrt{24} \), thì kết quả rút gọn là \( 3 – 3\sqrt{6} – \sqrt{10} \).
—
Trường hợp 2: Biểu thức là \( \frac{3}{3} + \sqrt{6} – \sqrt{10} – 4\sqrt{6} + \sqrt{24} \)
Trường hợp này đơn giản hơn.
Ta có \( \frac{3}{3} = 1 \).
Thay \( \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \) vào biểu thức:
\( 1 + \sqrt{6} – \sqrt{10} – 4\sqrt{6} + 2\sqrt{6} \)
Bước 2: Gom các số hạng đồng dạng.
* Hằng số: 1
* Các số hạng chứa \( \sqrt{6} \): \( \sqrt{6} – 4\sqrt{6} + 2\sqrt{6} \)
* Số hạng chứa \( \sqrt{10} \): \( -\sqrt{10} \)
Gom các số hạng chứa \( \sqrt{6} \):
\( \sqrt{6} – 4\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = (1 – 4 + 2)\sqrt{6} = (-3 + 2)\sqrt{6} = -1\sqrt{6} = -\sqrt{6} \)
Bước 3: Viết lại biểu thức đã rút gọn.
Kết hợp tất cả các số hạng lại, ta được:
\( 1 – \sqrt{6} – \sqrt{10} \)
Vậy, nếu biểu thức ban đầu là \( \frac{3}{3} + \sqrt{6} – \sqrt{10} – 4\sqrt{6} + \sqrt{24} \), thì kết quả rút gọn là \( 1 – \sqrt{6} – \sqrt{10} \).
—
Thông thường, khi gặp một biểu thức có dạng “a/b + c”, mà không có dấu ngoặc rõ ràng, người ta hay hiểu theo thứ tự ưu tiên phép tính: phép chia trước, phép cộng sau. Tuy nhiên, trong bối cảnh rút gọn biểu thức chứa căn thức phức tạp, cách viết “3/3+ căn 6” có thể gây nhầm lẫn.
Cô sẽ giả định rằng cách hiểu phổ biến và “đẹp” cho một bài toán rút gọn biểu thức có chứa căn là Trường hợp 1, tức là \( \frac{3}{3+\sqrt{6}} \). Tuy nhiên, nếu đề bài thực sự là Trường hợp 2, các em cũng đã có cách giải.
Với vai trò là giáo viên, cô luôn khuyến khích các em đọc kỹ đề bài và nếu có điểm nào chưa rõ ràng, hãy hỏi lại để đảm bảo chúng ta giải đúng ý đồ của đề bài.
Chúng ta hãy cùng ghi nhớ lại các bước đã thực hiện:
1. Đơn giản hóa từng căn thức riêng lẻ, đưa thừa số ra ngoài dấu căn nếu có thể.
2. Quy đồng mẫu số hoặc xử lý phân thức nếu có (bằng cách nhân với biểu thức liên hợp).
3. Gom các số hạng đồng dạng.
4. Viết lại biểu thức rút gọn cuối cùng.
Bài học hôm nay đến đây là kết thúc. Các em về nhà ôn tập lại các quy tắc về căn bậc hai và thực hành thêm các bài tập tương tự nhé. Chúc các em học tốt!
\(3/(3+\sqrt{6})-\sqrt{10-4\sqrt{6}}+\sqrt{24}\)
\(=(3(3-\sqrt{6}))/((3+\sqrt{6})(3-\sqrt{6}))-\sqrt{6-4\sqrt{6}+2}+2\sqrt{6}\)
\(=(3(3-\sqrt{6}))/(9-6)-\sqrt{(\sqrt{6}-2)^2}+2\sqrt{6}\)
\(=3-\sqrt{6}-|\sqrt{6}-2|+2\sqrt{6}\)
\(=3-\sqrt{6}-\sqrt{6}+2+2\sqrt{6}\)
\(=5\)
\(3/(3+\sqrt{6})-\sqrt{10-4\sqrt{6}}+\sqrt{24}\)
\(=(3(3-\sqrt{6}))/((3+\sqrt{6})(3-\sqrt{6}))-\sqrt{6-4\sqrt{6}+4}+\sqrt{4.6}\)
\(=(3(3-\sqrt{6}))/(3)-\sqrt{(\sqrt{6}-2)^2}+2\sqrt{6}\)
\(=3-\sqrt{6}-|\sqrt{6}-2|+2\sqrt{6}\)
\(=3+\sqrt{6}-\sqrt{6}+2\)
\(=5\)