Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài tập phương trình lượng giác này. Đây là một dạng bài hay, đòi hỏi chúng ta phải quan sát và biến đổi khéo léo một chút.

Chúng ta sẽ giải phương trình:
4cosx – 2cos2x – cos4x = 1

Bước 1: Quan sát và định hướng cách giải
Các em thấy trong phương trình có các cung (góc) khác nhau là \(x\), \(2x\), và \(4x\). Hướng đi chung cho dạng bài này là đưa tất cả các hạng tử về cùng một cung, thường là cung nhỏ nhất, tức là cung \(x\). Tuy nhiên, nếu biến đổi ngay lập tức \(\cos(2x)\) và \(\cos(4x)\) theo \(\cos(x)\) thì phương trình sẽ rất phức tạp.

Thay vào đó, chúng ta hãy thử biến đổi phương trình một cách khéo léo hơn. Ta sẽ nhóm các số hạng để tạo ra các biểu thức quen thuộc.

Chuyển vế phương trình, ta có:
\[4\cos(x) = 1 + 2\cos(2x) + \cos(4x)\]

Bước 2: Sử dụng công thức nhân đôi để biến đổi vế phải
Bây giờ, chúng ta hãy tập trung vào vế phải: \(1 + 2\cos(2x) + \cos(4x)\). Các em có nhận ra điều gì đặc biệt không? Ta sẽ sử dụng công thức góc nhân đôi: \(\cos(2A) = 2\cos^2(A) – 1\).

Áp dụng công thức này cho \(\cos(4x)\) với \(A = 2x\), ta có:
\[\cos(4x) = 2\cos^2(2x) – 1\]
Thay biểu thức này vào vế phải của phương trình:
\[1 + 2\cos(2x) + (2\cos^2(2x) – 1)\]
Rút gọn vế phải, ta được:
\[2\cos^2(2x) + 2\cos(2x)\]
Lúc này, phương trình của chúng ta trở thành:
\[4\cos(x) = 2\cos^2(2x) + 2\cos(2x)\]
Chia cả hai vế cho 2, phương trình sẽ gọn hơn:
\[2\cos(x) = \cos^2(2x) + \cos(2x)\]

Bước 3: Tiếp tục sử dụng công thức nhân đôi
Phương trình giờ chỉ còn hai cung là \(x\) và \(2x\). Ta sẽ tiếp tục đưa về một cung duy nhất là \(x\) bằng cách sử dụng công thức \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) – 1\).

Thay \(\cos(2x)\) vào phương trình ta vừa thu được:
\[2\cos(x) = (2\cos^2(x) – 1)^2 + (2\cos^2(x) – 1)\]

Bước 4: Đặt ẩn phụ để giải phương trình đại số
Phương trình lúc này trông khá phức tạp, nhưng nó chỉ chứa một hàm lượng giác duy nhất là \(\cos(x)\). Để giải quyết dễ dàng hơn, ta sẽ đặt ẩn phụ.

Đặt \(t = \cos(x)\). Các em hãy nhớ điều kiện của \(t\): \(-1 \le t \le 1\).

Phương trình trở thành:
\[2t = (2t^2 – 1)^2 + (2t^2 – 1)\]
Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình đại số với ẩn \(t\). Khai triển và rút gọn:
\[2t = (4t^4 – 4t^2 + 1) + (2t^2 – 1)\]
\[2t = 4t^4 – 2t^2\]
\[4t^4 – 2t^2 – 2t = 0\]
\[2t(2t^3 – t – 1) = 0\]
Điều này dẫn đến hai trường hợp:
\[t = 0\]
hoặc
\[2t^3 – t – 1 = 0\]
Đối với phương trình bậc ba \(2t^3 – t – 1 = 0\), ta có thể nhẩm nghiệm. Ta thấy tổng các hệ số \(2 – 1 – 1 = 0\), nên phương trình có một nghiệm là \(t = 1\).
Để tìm các nghiệm còn lại, ta chia đa thức \(2t^3 – t – 1\) cho \((t – 1)\), ta được:
\[(t-1)(2t^2 + 2t + 1) = 0\]
Xét phương trình bậc hai \(2t^2 + 2t + 1 = 0\). Phương trình này có biệt thức \(\Delta = 2^2 – 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 – 8 = -4 < 0\). Vì \(\Delta < 0\) nên phương trình này vô nghiệm. Như vậy, từ phương trình ẩn \(t\), ta chỉ tìm được hai nghiệm là \(t=0\) và \(t=1\). Bước 5: Thay lại biến và tìm nghiệm x
Cả hai giá trị \(t=0\) và \(t=1\) đều thỏa mãn điều kiện \(-1 \le t \le 1\), nên ta nhận cả hai. Bây giờ chúng ta sẽ tìm \(x\).

Trường hợp 1: Với \(t = 0\)
Ta có \(\cos(x) = 0\). Đây là một phương trình lượng giác cơ bản.
\[x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \text{ với } k \in \mathbb{Z}\]

Trường hợp 2: Với \(t = 1\)
Ta có \(\cos(x) = 1\). Đây cũng là một phương trình lượng giác cơ bản.
\[x = k2\pi, \text{ với } k \in \mathbb{Z}\]

Bước 6: Kết luận
Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là:
\[S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k2\pi \middle| k \in \mathbb{Z} \right\}\]

Chúc các em học tốt!