Chào các em học sinh yêu quý của thầy!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử khá thú vị, thuộc kiến thức lớp 8 theo chương trình sách giáo khoa mới.
Bài tập của chúng ta là: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
8x³ + y³ + z³ – 6xyz

Các em thấy đấy, đa thức này có vẻ hơi “khác lạ” so với những dạng chúng ta thường gặp như hiệu hai bình phương, tổng hoặc hiệu hai lập phương, hay nhóm hạng tử thông thường.
Tuy nhiên, đừng lo lắng! Chúng ta sẽ có một phương pháp “bí mật” để giải quyết nó.

Bước 1: Biến đổi đa thức về dạng quen thuộc
Đầu tiên, các em hãy nhìn kỹ vào hạng tử 8x³.
Chúng ta có thể viết lại nó dưới dạng lập phương của một biểu thức: 8x³ = (2x)³.
Vậy, đa thức ban đầu có thể viết lại là: (2x)³ + y³ + z³ – 6xyz.

Bước 2: Vận dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương (có điều chỉnh)
Thầy tin rằng nhiều em đã quen với hằng đẳng thức tổng ba lập phương: a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca).
Tuy nhiên, bài toán của chúng ta có hạng tử là -6xyz, không phải -3abc.
Để áp dụng được hằng đẳng thức này, chúng ta cần biến đổi hạng tử -6xyz.
Ta có: -6xyz = 3 (2x) y z (-1)??? Không đúng.
Ta có: -6xyz = 3 (2x) y * z. Vậy làm sao để đưa nó vào hằng đẳng thức.
À, ta có thể viết lại đa thức thành:
(2x)³ + y³ + z³ – 3 (2x) y * z.
Ở đây, ta coi a = 2x, b = y, c = z.
Vậy, đa thức của chúng ta có dạng: a³ + b³ + c³ – 3abc.

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức
Bây giờ, chúng ta hoàn toàn có thể áp dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương:
a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca)
Thay a = 2x, b = y, c = z vào hằng đẳng thức, ta được:
(2x)³ + y³ + z³ – 3(2x)yz = (2x + y + z)((2x)² + y² + z² – (2x)y – yz – z(2x))

Bước 4: Rút gọn biểu thức
Tiếp theo, chúng ta sẽ rút gọn các hạng tử trong biểu thức vừa thu được:
(2x)² = 4x²
(2x)y = 2xy
z(2x) = 2zx
Vậy, đa thức phân tích thành nhân tử là:
(2x + y + z)(4x² + y² + z² – 2xy – yz – 2zx)

Kết luận
Vậy, đa thức 8x³ + y³ + z³ – 6xyz đã được phân tích thành nhân tử là:
(2x + y + z)(4x² + y² + z² – 2xy – yz – 2zx)

Thầy đã giải thích chi tiết từng bước. Các em có câu hỏi nào không?
Bài tập này giúp chúng ta luyện tập kỹ năng nhận diện và vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức, đặc biệt là hằng đẳng thức tổng ba lập phương.
Chúc các em học tốt!