Chào các em, cô là giáo viên Toán lớp 7 đây.
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về lũy thừa rất hay, thường gặp trong các bài kiểm tra. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước cô hướng dẫn nhé!

Mục tiêu: Để giải bài toán này, phương pháp hiệu quả nhất là đưa các lũy thừa về cùng cơ số, cụ thể là các cơ số nguyên tố. Khi đó, chúng ta có thể dễ dàng áp dụng các quy tắc của phép tính lũy thừa để rút gọn biểu thức.

Bây giờ, chúng ta cùng bắt đầu!

Bước 1: Phân tích các cơ số thành thừa số nguyên tố.
Đây là bước đầu tiên và quan trọng nhất. Chúng ta cần biến đổi các cơ số 9, 125, 15 về dạng lũy thừa của các số nguyên tố (như 2, 3, 5, 7,…).

• \(9 = 3^2\)
• \(125 = 5^3\)
• \(15 = 3 \times 5\)

Lý do: Việc này giúp chúng ta “đồng bộ” các cơ số trong biểu thức, từ đó mới có thể áp dụng các quy tắc cộng, trừ số mũ.

Bước 2: Thay các giá trị vừa phân tích vào biểu thức.
Bây giờ, chúng ta sẽ viết lại biểu thức ban đầu bằng cách thay thế các cơ số đã được phân tích ở Bước 1.

Biểu thức sẽ trở thành:
\[ \frac{(3^2)^7 \times 5^6 \times (5^3)^9}{(3 \times 5)^{15} \times 5^{18}} \]

Bước 3: Áp dụng các quy tắc tính lũy thừa để rút gọn tử số và mẫu số.
Chúng ta sẽ áp dụng các công thức quen thuộc đã học để làm cho biểu thức gọn gàng hơn.

• Quy tắc “Lũy thừa của một lũy thừa”: \((a^m)^n = a^{m \times n}\)
• Quy tắc “Lũy thừa của một tích”: \((a \times b)^n = a^n \times b^n\)
• Quy tắc “Nhân hai lũy thừa cùng cơ số”: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

Rút gọn tử số:
\( (3^2)^7 \times 5^6 \times (5^3)^9 = 3^{2 \times 7} \times 5^6 \times 5^{3 \times 9} \)
\( = 3^{14} \times 5^6 \times 5^{27} \)
\( = 3^{14} \times 5^{6+27} \)
\( = 3^{14} \times 5^{33} \)

Rút gọn mẫu số:
\( (3 \times 5)^{15} \times 5^{18} = (3^{15} \times 5^{15}) \times 5^{18} \)
\( = 3^{15} \times 5^{15+18} \)
\( = 3^{15} \times 5^{33} \)

Bước 4: Thực hiện phép chia và tìm kết quả cuối cùng.
Sau khi rút gọn, biểu thức của chúng ta giờ đây rất đơn giản:
\[ \frac{3^{14} \times 5^{33}}{3^{15} \times 5^{33}} \]

Chúng ta sẽ nhóm các lũy thừa cùng cơ số và áp dụng quy tắc “Chia hai lũy thừa cùng cơ số”: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).

\( = \frac{3^{14}}{3^{15}} \times \frac{5^{33}}{5^{33}} \)
\( = 3^{14-15} \times 5^{33-33} \)
\( = 3^{-1} \times 5^0 \)

Các em hãy nhớ lại:

• Với số mũ âm: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Vậy \(3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}\).
• Với số mũ 0: \(a^0 = 1\) (với \(a \neq 0\)). Vậy \(5^0 = 1\).

Thay các giá trị này vào, ta được:
\( = \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3} \)

Kết luận:
Vậy, kết quả của phép tính là \( \frac{1}{3} \).

Các em thấy không, bằng cách phân tích và áp dụng đúng các quy tắc, một bài toán trông phức tạp đã trở nên thật đơn giản! Hãy ghi nhớ phương pháp này và luyện tập thêm các bài tương tự để thành thạo nhé.
Chúc các em học tốt