A=2x+5/x+1 Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên

Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được cùng các em giải bài toán này. Đây là một dạng bài rất hay giúp chúng ta củng cố kiến thức về số nguyên và phân số.

Để tìm các số nguyên $x$ sao cho biểu thức $A$ có giá trị là số nguyên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Biến đổi biểu thức $A$

Biểu thức ban đầu của chúng ta là:
$$A=\frac{2x+5}{x+1}$$

Để xác định khi nào $A$ là số nguyên, chúng ta cần biến đổi biểu thức này về dạng một số nguyên cộng với một phân số có tử số là một hằng số. Cách làm là chúng ta sẽ cố gắng tách tử số $2x+5$ sao cho xuất hiện $x+1$ (giống mẫu số).

Ta có thể viết:
$$2x+5=2(x+1)+3$$
(Vì $2(x+1)=2x+2$, và $2x+2$ cộng thêm $3$ sẽ được $2x+5$).

Khi đó, biểu thức $A$ trở thành:
$$A=\frac{2(x+1)+3}{x+1}$$

Bước 2: Tách phân số

Chúng ta có thể tách phân số này thành tổng của hai phân số:
$$A=\frac{2(x+1)}{x+1}+\frac{3}{x+1}$$

Rút gọn biểu thức, ta được:
$$A=2+\frac{3}{x+1}$$

Giải thích lý do: Việc biến đổi biểu thức như trên giúp chúng ta dễ dàng hơn trong việc tìm điều kiện để $A$ là số nguyên. Bởi vì, nếu một biểu thức có dạng $m+\frac{n}{k}$ (với $m$ là số nguyên), thì để cả biểu thức là số nguyên, phần phân số $\frac{n}{k}$ cũng phải là số nguyên.

Bước 3: Tìm điều kiện để $A$ là số nguyên

Theo kết quả ở Bước 2, để $A$ là số nguyên, vì $2$ đã là một số nguyên rồi, nên phân số $\frac{3}{x+1}$ cũng phải là một số nguyên.

Điều này có nghĩa là $(x+1)$ phải là ước của $3$.

Bước 4: Tìm các ước của 3

Các ước của $3$ bao gồm cả số nguyên dương và số nguyên âm.
Các ước của $3$ là: $\{1;-1;3;-3\}$.

Bước 5: Tìm các giá trị của $x$

Chúng ta sẽ xét từng trường hợp cho $x+1$:

Trường hợp 1:
$$x+1=1$$
$$x=1-1$$
$$x=0$$

Trường hợp 2:
$$x+1=-1$$
$$x=-1-1$$
$$x=-2$$

Trường hợp 3:
$$x+1=3$$
$$x=3-1$$
$$x=2$$

Trường hợp 4:
$$x+1=-3$$
$$x=-3-1$$
$$x=-4$$

Vậy, các giá trị nguyên của $x$ để $A$ có giá trị là số nguyên là: $0$, $-2$, $2$, $-4$.

Chúng ta có thể viết tập hợp các giá trị này là $x\in \{0;-2;2;-4\}$.