Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một số bài tập thú vị liên quan đến tính chất chia hết. Các em đã sẵn sàng chưa nào?

Bài tập:

a, Chứng minh rằng (n+10)(n+15) là bội của 2 với mọi số tự nhiên n.
b, Chứng minh rằng n(n+1)(n+2) là bội của 2 và 3 với mọi số tự nhiên n.
c, Chứng minh rằng n(n+1)(2n+1) là bội của 2 và 3 với mọi số tự nhiên n.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào giải từng phần nhé!

Giải:

a, Chứng minh rằng (n+10)(n+15) là bội của 2 với mọi số tự nhiên n.

Để chứng minh một tích là bội của 2, chúng ta cần chỉ ra rằng ít nhất một trong các thừa số của tích đó chia hết cho 2.

Ta xét hai trường hợp cho số tự nhiên n:

* Trường hợp 1: n là số chẵn.
Nếu n là số chẵn, thì n có dạng \( n = 2k \) với \( k \in \mathbb{N} \).
Khi đó, \( n+10 = 2k + 10 = 2(k+5) \).
Vì \( k+5 \) là một số nguyên, nên \( n+10 \) chia hết cho 2.
Do đó, tích \( (n+10)(n+15) \) cũng chia hết cho 2.

* Trường hợp 2: n là số lẻ.
Nếu n là số lẻ, thì n có dạng \( n = 2k + 1 \) với \( k \in \mathbb{N} \).
Khi đó, \( n+15 = (2k+1) + 15 = 2k + 16 = 2(k+8) \).
Vì \( k+8 \) là một số nguyên, nên \( n+15 \) chia hết cho 2.
Do đó, tích \( (n+10)(n+15) \) cũng chia hết cho 2.

Ngoài ra, chúng ta cũng có thể xét hai thừa số \( n+10 \) và \( n+15 \).
Nếu n là số chẵn, thì \( n+10 \) là số chẵn.
Nếu n là số lẻ, thì \( n+15 \) là số chẵn.
Trong mọi trường hợp, hoặc \( n+10 \) hoặc \( n+15 \) đều là số chẵn, tức là chia hết cho 2.
Do đó, tích \( (n+10)(n+15) \) luôn là bội của 2.

b, Chứng minh rằng n(n+1)(n+2) là bội của 2 và 3 với mọi số tự nhiên n.

Chúng ta sẽ chứng minh tính chia hết cho 2 và tính chia hết cho 3 một cách riêng biệt.

* Chứng minh n(n+1)(n+2) chia hết cho 2:
Xét hai số tự nhiên liên tiếp \( n \) và \( n+1 \). Trong hai số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chẵn.
Do đó, tích \( n(n+1) \) luôn chia hết cho 2.
Vì \( n(n+1) \) chia hết cho 2, nên tích \( n(n+1)(n+2) \) cũng chia hết cho 2.

* Chứng minh n(n+1)(n+2) chia hết cho 3:
Xét ba số tự nhiên liên tiếp \( n, n+1, n+2 \). Trong ba số tự nhiên liên tiếp bất kỳ, luôn có một số chia hết cho 3.
Điều này có thể được chứng minh như sau:
Nếu \( n \) chia hết cho 3, thì \( n(n+1)(n+2) \) chia hết cho 3.
Nếu \( n \) chia 3 dư 1, tức là \( n = 3k+1 \) (\( k \in \mathbb{N} \)), thì \( n+2 = (3k+1)+2 = 3k+3 = 3(k+1) \), chia hết cho 3.
Nếu \( n \) chia 3 dư 2, tức là \( n = 3k+2 \) (\( k \in \mathbb{N} \)), thì \( n+1 = (3k+2)+1 = 3k+3 = 3(k+1) \), chia hết cho 3.
Do đó, trong mọi trường hợp, một trong ba số \( n, n+1, n+2 \) đều chia hết cho 3.
Vì vậy, tích \( n(n+1)(n+2) \) luôn chia hết cho 3.

Vì \( n(n+1)(n+2) \) chia hết cho cả 2 và 3, mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên \( n(n+1)(n+2) \) chia hết cho \( 2 \times 3 = 6 \).
Vậy, \( n(n+1)(n+2) \) là bội của 2 và 3 với mọi số tự nhiên n.

c, Chứng minh rằng n(n+1)(2n+1) là bội của 2 và 3 với mọi số tự nhiên n.

Chúng ta cũng sẽ chứng minh tính chia hết cho 2 và tính chia hết cho 3 một cách riêng biệt.

* Chứng minh n(n+1)(2n+1) chia hết cho 2:
Xét hai số tự nhiên liên tiếp \( n \) và \( n+1 \). Trong hai số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chẵn.
Nếu \( n \) chẵn, thì \( n \) chia hết cho 2, do đó \( n(n+1)(2n+1) \) chia hết cho 2.
Nếu \( n \) lẻ, thì \( n+1 \) chẵn, do đó \( n+1 \) chia hết cho 2, và \( n(n+1)(2n+1) \) chia hết cho 2.
Vậy, \( n(n+1)(2n+1) \) luôn chia hết cho 2.

* Chứng minh n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3:
Ta cần chứng minh tích \( n(n+1)(2n+1) \) chia hết cho 3.
Ta xét các trường hợp của \( n \) khi chia cho 3:

* Trường hợp 1: n chia hết cho 3.
Nếu \( n \) chia hết cho 3, thì \( n = 3k \) với \( k \in \mathbb{N} \).
Khi đó, \( n(n+1)(2n+1) \) có thừa số \( n \) chia hết cho 3, nên tích này chia hết cho 3.

* Trường hợp 2: n chia 3 dư 1.
Nếu \( n \) chia 3 dư 1, thì \( n = 3k + 1 \) với \( k \in \mathbb{N} \).
Khi đó, \( 2n+1 = 2(3k+1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3(2k+1) \).
Vì \( 2k+1 \) là một số nguyên, nên \( 2n+1 \) chia hết cho 3.
Do đó, tích \( n(n+1)(2n+1) \) có thừa số \( 2n+1 \) chia hết cho 3, nên tích này chia hết cho 3.

* Trường hợp 3: n chia 3 dư 2.
Nếu \( n \) chia 3 dư 2, thì \( n = 3k + 2 \) với \( k \in \mathbb{N} \).
Khi đó, \( n+1 = (3k+2) + 1 = 3k + 3 = 3(k+1) \).
Vì \( k+1 \) là một số nguyên, nên \( n+1 \) chia hết cho 3.
Do đó, tích \( n(n+1)(2n+1) \) có thừa số \( n+1 \) chia hết cho 3, nên tích này chia hết cho 3.

Trong cả ba trường hợp, ta đều thấy rằng \( n(n+1)(2n+1) \) chia hết cho 3.

Vì \( n(n+1)(2n+1) \) chia hết cho cả 2 và 3, mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên \( n(n+1)(2n+1) \) chia hết cho \( 2 \times 3 = 6 \).
Vậy, \( n(n+1)(2n+1) \) là bội của 2 và 3 với mọi số tự nhiên n.

Các em thấy đó, chỉ cần nắm vững khái niệm số chẵn, số lẻ và tính chất chia hết của các số tự nhiên liên tiếp, chúng ta có thể giải quyết những bài toán này một cách dễ dàng.
Hãy nhớ ôn tập bài thật kỹ nhé! Hẹn gặp lại các em trong buổi học tiếp theo!