Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong buổi học hôm nay để cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị.

Chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập sau:

B = 1/2 . (1 + 1/1.3)(1 + 1/2.4)(1 + 1/3.5) ….(1+ 1/2021.2023 )

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một, dựa vào kiến thức đã học ở chương trình Toán lớp 7 nhé.

Bước 1: Phân tích các thừa số trong ngoặc.

Các em quan sát các thừa số trong ngoặc đơn nhé. Chúng đều có dạng (1 + 1/n.(n+2)). Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số cho từng ngoặc:

* Thừa số thứ nhất: \(1 + \frac{1}{1 \cdot 3}\)
Ta quy đồng mẫu số: \(1 + \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{3+1}{1 \cdot 3} = \frac{4}{1 \cdot 3}\)

* Thừa số thứ hai: \(1 + \frac{1}{2 \cdot 4}\)
Ta quy đồng mẫu số: \(1 + \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{8+1}{2 \cdot 4} = \frac{9}{2 \cdot 4}\)

* Thừa số thứ ba: \(1 + \frac{1}{3 \cdot 5}\)
Ta quy đồng mẫu số: \(1 + \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{15+1}{3 \cdot 5} = \frac{16}{3 \cdot 5}\)

Các em thấy quy luật ở đây chưa nào? Chúng ta có thể nhận thấy rằng tử số là bình phương của một số. Cụ thể:
4 = 2^2
9 = 3^2
16 = 4^2

Và mẫu số là tích của hai số liên tiếp nhau với khoảng cách là 2.
1.3
2.4
3.5

Vậy, ta có thể viết lại các thừa số trong ngoặc như sau:
\(1 + \frac{1}{n(n+2)} = \frac{n(n+2) + 1}{n(n+2)} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n(n+2)} = \frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\)

Áp dụng quy luật này cho từng thừa số trong bài toán của chúng ta:
Thừa số thứ nhất: \(1 + \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{(1+1)^2}{1 \cdot (1+2)} = \frac{2^2}{1 \cdot 3}\)
Thừa số thứ hai: \(1 + \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{(2+1)^2}{2 \cdot (2+2)} = \frac{3^2}{2 \cdot 4}\)
Thừa số thứ ba: \(1 + \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{(3+1)^2}{3 \cdot (3+2)} = \frac{4^2}{3 \cdot 5}\)

Và thừa số cuối cùng: \(1 + \frac{1}{2021 \cdot 2023} = \frac{(2021+1)^2}{2021 \cdot (2021+2)} = \frac{2022^2}{2021 \cdot 2023}\)

Bước 2: Viết lại biểu thức B với các thừa số đã phân tích.

B = 1/2 . \( \frac{2^2}{1 \cdot 3} \cdot \frac{3^2}{2 \cdot 4} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 5} \cdot \ldots \cdot \frac{2022^2}{2021 \cdot 2023} \)

Bước 3: Tách các thừa số bình phương và rút gọn.

Bây giờ, chúng ta sẽ tách các thừa số bình phương ở tử số và nhóm lại các số ở mẫu số để dễ dàng rút gọn.

\( B = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \right) \cdot \left( \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \cdot \left( \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \right) \cdot \ldots \cdot \left( \frac{2022 \cdot 2022}{2021 \cdot 2023} \right) \)

Chúng ta có thể viết lại biểu thức B như sau:

\( B = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} \right) \cdot \left( \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \right) \cdot \ldots \cdot \left( \frac{2022}{2021} \cdot \frac{2022}{2023} \right) \)

Bây giờ, các em hãy quan sát các phân số để xem có thể rút gọn được những gì. Chúng ta sẽ nhóm các phân số có thể rút gọn được với nhau.

\( B = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{2022}{2021} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \ldots \cdot \frac{2022}{2023} \right) \)

Chúng ta thấy rằng, trong dấu ngoặc thứ nhất: 2 ở tử triệt tiêu với 2 ở mẫu, 3 ở tử triệt tiêu với 3 ở mẫu, và cứ thế tiếp diễn cho đến 2021 ở mẫu. Chỉ còn lại 2022 ở tử.

\( \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{2022}{2021} = \frac{2022}{1} = 2022 \)

Và trong dấu ngoặc thứ hai: 3 ở mẫu triệt tiêu với 3 ở tử, 4 ở mẫu triệt tiêu với 4 ở tử, và cứ thế tiếp diễn cho đến 2022 ở tử. Chỉ còn lại 2 ở tử và 2023 ở mẫu.

\( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \ldots \cdot \frac{2022}{2023} = \frac{2}{2023} \)

Bước 4: Tính giá trị cuối cùng của B.

Bây giờ, chúng ta ghép lại kết quả rút gọn được:

\( B = \frac{1}{2} \cdot 2022 \cdot \frac{2}{2023} \)

\( B = \frac{1 \cdot 2022 \cdot 2}{2 \cdot 2023} \)

Chúng ta có thể rút gọn số 2 ở cả tử và mẫu:

\( B = \frac{2022}{2023} \)

Vậy là chúng ta đã giải xong bài toán này rồi! Các em thấy không, với sự kiên nhẫn và phân tích từng bước, chúng ta có thể giải quyết được những bài toán tưởng chừng phức tạp.

Kết luận:

Giá trị của biểu thức B là \( \frac{2022}{2023} \).

Hy vọng qua bài tập này, các em đã hiểu rõ hơn về cách biến đổi và rút gọn biểu thức. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi cô nhé!