b. 4cos^2 2x -3 =0
Chúng ta sẽ giải bài tập sau:
b. 4cos^2 2x – 3 = 0
Bước 1: Cô lập biểu thức chứa cos^2 2x
Đầu tiên, cô sẽ chuyển vế hằng số -3 sang phía bên phải của phương trình. Khi chuyển vế, dấu của nó sẽ đổi ngược lại.
4cos^2 2x = 3
Tiếp theo, để cô lập biểu thức cos^2 2x, cô sẽ chia cả hai vế của phương trình cho 4.
cos^2 2x = 3/4
Bước 2: Tìm giá trị của cos 2x
Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị của cos 2x. Ta thấy cos^2 2x là bình phương của cos 2x. Do đó, để tìm cos 2x, chúng ta sẽ lấy căn bậc hai của cả hai vế. Lưu ý rằng khi lấy căn bậc hai của một số bình phương, ta sẽ có cả giá trị dương và giá trị âm.
cos 2x = ± √(3/4)
Chúng ta sẽ rút gọn căn bậc hai của 3/4.
cos 2x = ± (√3 / √4)
cos 2x = ± (√3 / 2)
Như vậy, chúng ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: cos 2x = √3 / 2
Trường hợp 2: cos 2x = -√3 / 2
Bước 3: Giải phương trình cho từng trường hợp
Bây giờ, chúng ta sẽ đi giải từng trường hợp này.
Trường hợp 1: cos 2x = √3 / 2
Các em còn nhớ giá trị đặc biệt nào của cos mà bằng √3 / 2 không? Đúng rồi, đó là cos(π/6).
Vì hàm cosin tuần hoàn với chu kỳ 2π, nên nghiệm tổng quát của phương trình cos u = cos α là u = ± α + k2π, với k là số nguyên.
Áp dụng vào trường hợp này, ta có:
2x = ± π/6 + k2π, với k ∈ Z
Để tìm x, chúng ta sẽ chia cả hai vế cho 2.
x = ± (π/12) + kπ, với k ∈ Z
Đây là hai dạng nghiệm của trường hợp này:
x = π/12 + kπ
x = -π/12 + kπ
Trường hợp 2: cos 2x = -√3 / 2
Tương tự, chúng ta cần tìm giá trị đặc biệt của cos mà bằng -√3 / 2. Chúng ta biết rằng cos(π – α) = -cos α.
Vì cos(π/6) = √3/2, nên cos(π – π/6) = cos(5π/6) = -√3/2.
Áp dụng nghiệm tổng quát của phương trình cos u = cos α:
2x = ± 5π/6 + k2π, với k ∈ Z
Để tìm x, chúng ta sẽ chia cả hai vế cho 2.
x = ± (5π/12) + kπ, với k ∈ Z
Đây là hai dạng nghiệm của trường hợp này:
x = 5π/12 + kπ
x = -5π/12 + kπ
Bước 4: Tổng hợp tất cả các nghiệm
Bây giờ, chúng ta sẽ tổng hợp tất cả các nghiệm mà chúng ta đã tìm được từ hai trường hợp.
Các nghiệm của phương trình là:
x = π/12 + kπ
x = -π/12 + kπ
x = 5π/12 + kπ
x = -5π/12 + kπ
với k là số nguyên bất kỳ (k ∈ Z).
Chúng ta có thể viết gọn lại các nghiệm này. Quan sát các giá trị π/12, -π/12, 5π/12, -5π/12, chúng ta có thể nhận thấy một quy luật.
Hãy thử xem xét mối liên hệ giữa chúng:
π/12
-π/12 = 11π/12 – π (nếu xét k=1 và k=0)
5π/12
-5π/12 = 7π/12 – π (nếu xét k=1 và k=0)
Hoặc chúng ta có thể nhóm các nghiệm lại.
Các nghiệm có dạng ± π/12 + kπ và ± 5π/12 + kπ.
Một cách khác để biểu diễn tập nghiệm là:
Tập nghiệm S = {π/12 + kπ | k ∈ Z} ∪ {-π/12 + kπ | k ∈ Z} ∪ {5π/12 + kπ | k ∈ Z} ∪ {-5π/12 + kπ | k ∈ Z}
Hoặc chúng ta có thể nhóm lại như sau:
x = ± π/12 + kπ
x = ± 5π/12 + kπ
Trong đó k là số nguyên.
Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài tập này rồi. Cô hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải. Điều quan trọng là các em cần ghi nhớ các công thức lượng giác cơ bản và cách giải phương trình lượng giác. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!
Đáp án:+\([_{x = – \frac{\pi }{{12}} + k\pi }^{x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi },k \in Z\)
+\([_{x = – \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi }^{x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi },k \in Z\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
4{\cos ^2}2x – 3 = 0\\
< = > {\cos ^2}2x = \frac{3}{4}\\
< = > [_{\cos 2x = \frac{{ – \sqrt 3 }}{2}}^{\cos 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\
+ \cos 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \frac{\pi }{6}\\
< = > [_{2x = – \frac{\pi }{6} + k2\pi }^{2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\
< = > [_{x = – \frac{\pi }{{12}} + k\pi }^{x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi },k \in Z\\
+ \cos 2x = – \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \frac{{5\pi }}{6}\\
< = > [_{2x = – \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }^{2x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\\
< = > [_{x = – \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi }^{x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi },k \in Z
\end{array}\)
Đáp án:
4.(1+cos2x/2)-3=0
<=>4+4cos2x-6=0
=>4cos2x=2
=> cos2x=1^2
2x=pi/3+k2pi
X=pi/6+kpi
Giải thích các bước giải: